Definire variabile aleatoria e DF
Salve a tutti, mi stavo cimentando nella risoluzione del seguente esercizio:
Possedete un mazzo di n chiavi, tutte uguali. Avete bisogno di estrarre la chiave giusta per aprire una determinata porta (la chiave giusta è ovviamente solo una) e potete scegliere fra due strategie:
1. Non eliminare dal mazzo le chiavi che si dimostrano inutili;
2. Eliminare dal mazzo le chiavi che si dimostrano inutili.
Detta X la variabile aleatoria che conta il numero di tentativi che dovete effettuare per aprire la porta, determinare la DF di X ed il numero medio di tentativi utilizzando le due strategie.
Il mio problema sta più che altro nel definire la variabile aleatoria (che è in effetti la vera difficoltà dell'esercizio) in entrambi i casi. In che modo posso muovermi per definirla? Non mi è chiarissimo cosa si intenda per contare il numero di tentativi: l'unica variabile aleatoria che riesco a pensare è quella con soli due eventi possibile, estrazione di una chiave sbagliata o di quella corretta, ma chiaramente non mi sembra la via giusta. Come posso muovermi per trovarla?
Grazie in anticipo a chiunque mi aiuti!
Possedete un mazzo di n chiavi, tutte uguali. Avete bisogno di estrarre la chiave giusta per aprire una determinata porta (la chiave giusta è ovviamente solo una) e potete scegliere fra due strategie:
1. Non eliminare dal mazzo le chiavi che si dimostrano inutili;
2. Eliminare dal mazzo le chiavi che si dimostrano inutili.
Detta X la variabile aleatoria che conta il numero di tentativi che dovete effettuare per aprire la porta, determinare la DF di X ed il numero medio di tentativi utilizzando le due strategie.
Il mio problema sta più che altro nel definire la variabile aleatoria (che è in effetti la vera difficoltà dell'esercizio) in entrambi i casi. In che modo posso muovermi per definirla? Non mi è chiarissimo cosa si intenda per contare il numero di tentativi: l'unica variabile aleatoria che riesco a pensare è quella con soli due eventi possibile, estrazione di una chiave sbagliata o di quella corretta, ma chiaramente non mi sembra la via giusta. Come posso muovermi per trovarla?
Grazie in anticipo a chiunque mi aiuti!
Risposte
mi sembrano due quesiti davvero facili....
Eliminando la chiave dal mazzo otteniamo una distribuzione uniforme discreta
$X={{: ( 1 , 2 , ... , n ),( 1/n , 1/n , 1/n , 1/n ) :}$
di media $E(X)=(n+1)/2$
Ciò si vede facilmente se noti che:
per aprire la porta al primo tentativo sarà ovviamente $p=1/n$
per aprire la porta al secondo tentativo significa che al primo non sei riuscito e dunque la $p=(n-1)/n 1/(n-1)=1/n$ e così via....
mentre nel primo caso, cioè non eliminando la chiave provata, la distribuzione diventa una geometrica di parametro $1/n$ ovvero
$P(X=k)=p(1-p)^(k-1)=1/n((n-1)/n)^(k-1)$; $k=1,2....$
e la cui media è come noto $E(X)=1/p=n$
tutto qui
Questo ovviamente per le persone normali, non per me...io ci metto mediamente 3 tentativi per infilare correttamente una USB nella porta....
Eliminando la chiave dal mazzo otteniamo una distribuzione uniforme discreta
$X={{: ( 1 , 2 , ... , n ),( 1/n , 1/n , 1/n , 1/n ) :}$
di media $E(X)=(n+1)/2$
Ciò si vede facilmente se noti che:
per aprire la porta al primo tentativo sarà ovviamente $p=1/n$
per aprire la porta al secondo tentativo significa che al primo non sei riuscito e dunque la $p=(n-1)/n 1/(n-1)=1/n$ e così via....
mentre nel primo caso, cioè non eliminando la chiave provata, la distribuzione diventa una geometrica di parametro $1/n$ ovvero
$P(X=k)=p(1-p)^(k-1)=1/n((n-1)/n)^(k-1)$; $k=1,2....$
e la cui media è come noto $E(X)=1/p=n$
tutto qui
Questo ovviamente per le persone normali, non per me...io ci metto mediamente 3 tentativi per infilare correttamente una USB nella porta....
Grazie mille! So che sono esercizi basilari ma ho problemi a impostare esercizi di questo genere ><
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