Dalla congiunta uniforme alla somma delle marginali

[neuro1]

Ciao a tutti. Ho davanti un problema che mi sta dando del filo da torcere, non tanto per i concetti quanto perchè operativamente non ho molta esperienza e quindi inciampo su cose in apparenza banali.

L'esercizio è questo:

Si consideri un punto z di coordinate (x,y) preso a caso nel piano complesso e si consideri il piu' piccolo
poligono che contiene tutte le radici della seguente equazione in campo complesso $(z^3 + 27) = 0$. Sia
fxy, distribuzione di probabilità delle coordinate del punto z, uniforme all'interno di tale poligono e
nulla all'esterno. Sia W=X+Y. Si dica se W è una variabile causale (si giustifichi la risposta) e in
caso affermativo si calcoli:
² la funzione probabilità cumulativa di W;
² la distribuzione di probabilità di W;
² la media e la varianza di W

Ora, io sono in grado di identificare la regione di piano di cui si parla (triangolo delimitato da $z = 3exp{i*k\frac{3}{2}\pi}$ con k = 0, 1, 2; potrei aver trascritto male ma è abbastanza irrilevante).
Il problema sorge quando cerco di identificare le marginali. Il mio ragionamento è questo: se conosco la congiunta (uniforme), mi basta ricavare fx integrando la congiunta, quindi

$f_x = \int_{a}^{b} f_(xy)(x,y) dy$
con a e b che rappresentano le equazioni delle rette che delimitano il triangolo (i due estremi "mobili" di integrazione), e considerando x che varia all'interno del triangolo in cui la congiunta è definita e diversa da zero. Il mio problema è, banalmente... Quanto vale l'espressione della congiunta??
C'è qualcosa che sbaglio, perchè per ricavarla, dovrei come minimo fare il prodotto delle due marginali (che volevo ricavare a partire dalla congiunta)!
Non so proprio come fare. C'è mica qualche risultato importante che mi sono perso riguardo alla densità di probabilità della somma di due marginali come in questo caso? Che so qualcosa di paragonabile alla convoluzione tra fdc per ottenere l'fdc della somma, per capirci.

Come per l'altra volta, grazie infinite a chi mi vorrà aiutare.

[DajeForte]

Non entro nel merito dell'esercizio perchè non ho capito bene il testo.
Invece quello che ti interessa è che la densità congiunta è pari all'inverso dell'area del triangolo, e lo ricava dal fatto che ti dice che è una distribuzione uniforme.
Inoltre il discorso che facevi sulle marginali vale quando le due variabili X ed Y sono indipendenti. Se non lo sono la congiunta non è uguale al prodotto.

[neuro1]

Non so perchè non ho pensato all'inverso dell'area per la congiunta...
Acquista molto più senso effettivamente. Pardon