DADI TRUCCATI criterio di Neyman-Pearson
Ciao a tutti,
sono nuovo del forum ed ho trovato una discussione interessante che mi ha fatto capire che ci sono persone competenti e preparate, essendo nuovo probabilmente avrei dovuto rispondere a quella discussione ma la domanda che voglio porre è simile ma con approccio differente rispetto a questa fatta più di un'anno fa (https://www.matematicamente.it/forum/dad ... 51984.html):
si vuole verificare se dei dadi sono stati fabbricati e truccati vedendo se la faccia 5 si presenta più del dovuto, viene quindi preso un dado e lanciato N=60000 volte......2 domande:
1)come progetto il test usando il criterio di Neyman-Pearson sapendo che la probabilità di errore di primo tipo A=5%?
2) qual'è la probabilità di rivelare, sempre con il criterio di Neyman-Pearson, un fabbricante disonesto che produce dadi con p=1/3 ansichè con il valore corretto p=1/6?
Il motivo della mia domanda è avere delucidazioni abbastanza chiare e dirette su questo criterio (anche per riuscirlo a distinguere, a livello di applicazioni, dal criterio della massima verosimiglianza). Spero nella vostra gentilezza e nel vostro sapere e ringrazio infinitamente in anticipo chi riuscisse a spiegarmi nel modo più dettagliato possibile la procedura.
ciao a tutti
sono nuovo del forum ed ho trovato una discussione interessante che mi ha fatto capire che ci sono persone competenti e preparate, essendo nuovo probabilmente avrei dovuto rispondere a quella discussione ma la domanda che voglio porre è simile ma con approccio differente rispetto a questa fatta più di un'anno fa (https://www.matematicamente.it/forum/dad ... 51984.html):
si vuole verificare se dei dadi sono stati fabbricati e truccati vedendo se la faccia 5 si presenta più del dovuto, viene quindi preso un dado e lanciato N=60000 volte......2 domande:
1)come progetto il test usando il criterio di Neyman-Pearson sapendo che la probabilità di errore di primo tipo A=5%?
2) qual'è la probabilità di rivelare, sempre con il criterio di Neyman-Pearson, un fabbricante disonesto che produce dadi con p=1/3 ansichè con il valore corretto p=1/6?
Il motivo della mia domanda è avere delucidazioni abbastanza chiare e dirette su questo criterio (anche per riuscirlo a distinguere, a livello di applicazioni, dal criterio della massima verosimiglianza). Spero nella vostra gentilezza e nel vostro sapere e ringrazio infinitamente in anticipo chi riuscisse a spiegarmi nel modo più dettagliato possibile la procedura.
ciao a tutti
Risposte
1) Potresti costruire un intervallo di confidenza unilaterale al $95%$ per la variabile aleatoria X="numero di uscite del 5 in 60000 lanci del dado" nell'ipotesi $H_{0}:p=1/6$, cioè che il dado non sia truccato, e valutare se nell'esperimento la realizzazione di tale v.a. cade nell'intervallo costruito (accetti $H_{0}$) oppure no (rifiuti $H_{0}$).
2) ti chiede la potenza del test, ovvero la probabilità di rifiutare $H_{0}$, essendo vera l'ipotesi alternativa $H_{1}:p=1/3$
2) ti chiede la potenza del test, ovvero la probabilità di rifiutare $H_{0}$, essendo vera l'ipotesi alternativa $H_{1}:p=1/3$
ciao cenzo,
ti ringrazio per l'interessamento ma, essendo parecchio confuso, come faccio a costruire questo intervallo usando il criterio di Neyman-Pearson? poi, la potenza del test come la calcolo usando il medesimo criterio?
grazie infinite
ti ringrazio per l'interessamento ma, essendo parecchio confuso, come faccio a costruire questo intervallo usando il criterio di Neyman-Pearson? poi, la potenza del test come la calcolo usando il medesimo criterio?
grazie infinite
e poi un'altra cosa, ma il test non dovrebbe essere unilaterale dato che $ H_{0}:p=1/6 $ e $ H_{1}:p>1/6 $ dato che si vuole verificare ch la faccia 5 non esca fuori PIU' DEL DOVUTO. giusto? in tal caso come costruisco l'intervallo e calcolo la potenza usando quel criterio?
grazie
grazie
Giusto, unilaterale.
La v.a. X ha distribuzione binomiale con $n=60000$ e $p=1/6$. Il suo valore atteso è $np=10000$ e la sua varianza $np(1-p)=8333.bar3$.
Visto il numero di prove così elevato possiamo dire che la v.a. standardizzata $Z=(X-np)/sqrt(np(1-p))\simN(0,1)$ è distribuita come una normale standard.
L'intevallo di confidenza unilaterale per Z è allora del tipo $(-\infty,z_{1-\alpha})$, dove $z_{1-alpha}$ è il quantile della normale standard corrispondente ad una probabilità $1-\alpha=1-0.05=0.95$. Risulta $z_{1-alpha}=z_{0.95}=1.644854$.
L'intervallo di confidenza per X è allora $(-\infty,np+z_{1-alpha}*sqrt(np(1-p)))=(-\infty,10150.15)$
In pratica se lanciando il dado 60000 volte, risulta un numero di 5 maggiore di $10150$, rigetti $H_0$.
Ovviamente c'è (errore di prima specie) una probabilità del $5%$ di rifiutare $H_0$ essendo invece essa vera.
La potenza del test è $1-\beta$, dove $\beta$ è l'errore di seconda specie: la probabilità di accettare $H_0$ dato che è vera l'ipotesi alternativa $H_1:p=1/3$
Prova a calcolare $\beta=P("accetto "H_0|"è vera "H_1)$, sempre con l'appossimazione della normale standard.
$1-\beta$ sarà la probabilità di rifiutare $H_0$, cioè di rivelare il fabbricante disonesto, noto che il fabbricante produce dadi con $p=1/3$, cioè dato che $H_1$ è vera.
La v.a. X ha distribuzione binomiale con $n=60000$ e $p=1/6$. Il suo valore atteso è $np=10000$ e la sua varianza $np(1-p)=8333.bar3$.
Visto il numero di prove così elevato possiamo dire che la v.a. standardizzata $Z=(X-np)/sqrt(np(1-p))\simN(0,1)$ è distribuita come una normale standard.
L'intevallo di confidenza unilaterale per Z è allora del tipo $(-\infty,z_{1-\alpha})$, dove $z_{1-alpha}$ è il quantile della normale standard corrispondente ad una probabilità $1-\alpha=1-0.05=0.95$. Risulta $z_{1-alpha}=z_{0.95}=1.644854$.
L'intervallo di confidenza per X è allora $(-\infty,np+z_{1-alpha}*sqrt(np(1-p)))=(-\infty,10150.15)$
In pratica se lanciando il dado 60000 volte, risulta un numero di 5 maggiore di $10150$, rigetti $H_0$.
Ovviamente c'è (errore di prima specie) una probabilità del $5%$ di rifiutare $H_0$ essendo invece essa vera.
La potenza del test è $1-\beta$, dove $\beta$ è l'errore di seconda specie: la probabilità di accettare $H_0$ dato che è vera l'ipotesi alternativa $H_1:p=1/3$
Prova a calcolare $\beta=P("accetto "H_0|"è vera "H_1)$, sempre con l'appossimazione della normale standard.
$1-\beta$ sarà la probabilità di rifiutare $H_0$, cioè di rivelare il fabbricante disonesto, noto che il fabbricante produce dadi con $p=1/3$, cioè dato che $H_1$ è vera.
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