Da v.a. exp a geometrica

[Panevin]

Buona sera a tutti, mi si presenta un esercizio di questo tipo:

Data la v.a. \( X \sim Exp(\lambda) \) e la funzione \( g(x)= \lfloor x \rfloor \) (parte intera)
si consideri la v.a \( Y = g(X) = \lfloor X \rfloor \)
Calcolare la Funzione di Distribuzione e la funzione di densità di \(Y\)

Io so già che \(Y\) sarà una variabile aleatoria Geometrica di parametro \( e^{-\lambda} \). Wikipedia lo dimostra
calcolando \[P(Y=n)=P(n \le X < n+1)=F_X(n+1)-F_X(n)=(1-e^{-\lambda})(e^{-\lambda})^n \]
Però a me interesserebbe una dimostrazione più profonda, ovvero attraverso il calcolo delle antiimmagini:
\[ F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)=P(X\in g^{-1}((-\infty,y])) \]

Se servisse ecco il grafico della funzione parte intera:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Floor_function.svg/600px-Floor_function.svg.png

Per il calcolo di \( g^{-1}((-\infty,y]) \) ottengo
\begin{equation}
g^{-1}((-\infty,y])=
\left\{
\begin{aligned}
\label{nomechevuoitu}
& (-\infty ,y) \qquad y<0\\
& (-\infty ,0]U(0,y) \qquad y>0
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Quindi dovrei avere
\begin{equation}
F_Y(y)=
\left\{
\begin{aligned}
\label{nomechevuoitu}
& 0 \qquad y<0\\
& P(X\in (-\infty ,0]U(0,y))=P(X\in(0,y))=F_X(y)-F_X(0)=F_X(y) \qquad y>0
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

ma \( F_Y(y)=F_X(y) = (1-e^{-\lambda y})u(y) \) ( dove \(u(y)\) è il gradino unitario centrato in \( y=0\) ) non corrisponde
al valore che mi aspettavo, ovvero \[ (1-e^{-\lambda (y+1)})u(y) \]
che è la funzione di ripartizione della geometrica di parametro \( e^{-\lambda} \).

Cosa sbaglio? Grazie mille per l'aiuto che vorrete darmi!

[Panevin]

secondo me invece sbaglio nel calcolo di \(g^{-1}((-\infty,y]) \), infatti se fosse

\begin{equation}
g^{-1}((-\infty,y))=
\left\{
\begin{aligned}
\label{nomechevuoitu}
& (-\infty ,y+1) \qquad y<0\\
& (-\infty ,1)U[1,y+1) \qquad y>0
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\begin{equation}
F_Y(y)=
\left\{
\begin{aligned}
\label{nomechevuoitu}
& 0 \qquad y<0\\
& P(X\in (-\infty ,1)U[1,y+1))=P(X\in[1,y+1))=F_X(y+1)-F_X(0)=F_X(y+1) \qquad y>0
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Quindi otterrei che \( F_Y(y)=F_X(y+1) = (1-e^{-\lambda (y+1)})u(y) \) dove \(u(y)\) è il gradino unitario centrato in \( y=0\).

questo è il grafico:


Solo che devo convincermi che l'antiimmagine sia davvero quella..

[wnvl]

ma come spiegi che $F_X(0)=0$?

[Panevin]

X si comporta come una esponenziale che quindi ha FdD:
\[ F_X(x) = (1-e^{-\lambda x})u(x) \]
il che comporta immediatamente che
\[ F_X(0) = (1-e^{-\lambda \cdot 0})u(x) = (1-e^0)u(x) = (1-1)u(x)=0 \]

[wnvl]

"Panevin":X si comporta come una esponenziale che quindi ha FdD:
\[ F_X(x) = (1-e^{-\lambda x})u(x) \]
il che comporta immediatamente che
\[ F_X(0) = (1-e^{-\lambda \cdot 0})u(x) = (1-e^0)u(x) = (1-1)u(x)=0 \]

Hai ragione, la mia questione era stupida.