Da f.r. a f.d.p.

[Bluff1]

Ciao, trovo difficoltà nel fare questo esercizio:

Esistono valori di k per i quali la funzione $F(x)=e^(lambda·x)·(k + e^(lambda·x))^(-1)$ è una funzione di ripartizione per $x in RR$, e $\lambda$ noto? Se si calcolare la media.

Io so che affinchè sia una f.r. deve essere crescente e soddisfare i due limiti.
Ma poi come posso determinare i valori di k?
Devo fare la derivata per ottenere così la f.d.p. e poi calcolarmi l'integrale?

[retrocomputer]

"Bluff":

Esistono valori di k per i quali la funzione $F(x)=e^(lambda·x)·(k + e^(lambda·x))^(-1)$ è una funzione di ripartizione per $x in RR$, e $\lambda$ noto? Se si calcolare la media.

Io so che affinchè sia una f.r. deve essere crescente e soddisfare i due limiti.

Hai calcolato i due limiti?

[Bluff1]

"retrocomputer":[quote="Bluff"]

Esistono valori di k per i quali la funzione $F(x)=e^(lambda·x)·(k + e^(lambda·x))^(-1)$ è una funzione di ripartizione per $x in RR$, e $\lambda$ noto? Se si calcolare la media.

Io so che affinchè sia una f.r. deve essere crescente e soddisfare i due limiti.

Hai calcolato i due limiti?[/quote]

$\lim_{x \to \+-infty} e^(lambda·x)/(k + e^(lambda·x))=\lim_{x \to \+-infty} 1/(1+k/e^(lambda·x))$
ed è soddisfatta la condizione sui limiti (assumendo k come un valore numerico).

[retrocomputer]

"Bluff":
$\lim_{x \to \+-infty} e^(lambda·x)/(k + e^(lambda·x))=\lim_{x \to \+-infty} 1/(1+k/e^(lambda·x))$
ed è soddisfatta la condizione sui limiti (assumendo k come un valore numerico).

E allora si passa alla monotonia... Supponendo che sia $\lambda>0$, a me viene che $k$ deve essere strettamente maggiore di zero, torna?

[Bluff1]

"retrocomputer":[quote="Bluff"]
$\lim_{x \to \+-infty} e^(lambda·x)/(k + e^(lambda·x))=\lim_{x \to \+-infty} 1/(1+k/e^(lambda·x))$
ed è soddisfatta la condizione sui limiti (assumendo k come un valore numerico).

E allora si passa alla monotonia... Supponendo che sia $\lambda>0$, a me viene che $k$ deve essere strettamente maggiore di zero, torna?[/quote]

Si scusa mi sono dimenticato di scrivere che $\lambda>0$ era dato. Ma perchè $k>=0$? Non dovrei avere $k>(-e^(lambda x))$.

[retrocomputer]

"Bluff":
Ma perchè $k>=0$? Non dovrei avere $k>(-e^(lambda x))$.

Infatti mi viene strettamente positivo (cioè $k>0$). La funzione $-e^(lambda x)$ non è sempre negativa?

[Bluff1]

Ah hai ragione. Ma allora sapendo solo che $k>0$ mi calcolo la media facendo l'integrale e lasciando $k$ incognito?

[retrocomputer]

"Bluff":Ma allora sapendo solo che $k>0$ mi calcolo la media facendo l'integrale e lasciando $k$ incognito?

Direi di sì. Attento solo a cosa (e/o come) integri. Ricordati che quella data è la funzione di ripartizione e non la densità.

[Bluff1]

Si esatto è proprio quello il problema che ho incontrato ora perchè ho ottenuto derivando quella f.r. la seguente f.d.p. $k·\lambda·e^(lambda·x)/(e^(lambda·x) + k)^2$ ma quando vado ad integrare questa tra $-oo$ e $+oo$ mi viene questo integrale:
$k·\lambda \int_{-oo}^{+oo} x·e^(lambda·x)/(e^(lambda·x) + k)^2$
Come faccio?