Crescenza del valore atteso

[fede.unive]

Salve a tutti.
E' noto a tutti che se due variabili aleatorie sono tali che $X>=Y$, allora $bbb{E}(X)>=bbb{E}(Y)$. Ma è vero anche il contrario? Ossia, se $bbb{E}(X)>=bbb{E}(Y)$, posso concludere $X>=Y$?

Inoltre, se avessi $f(X)>=g(X)$ posso dire $bbb{E}[f(X)]>=bbb{E}[g(Y)]$? O entra in gioco la crescenza/decrescenza di $f$ e $g$? E l'implicazione inversa?

Grazie mille in anticipo

[fede.unive]

La scrittura $X>=Y$ sta ad indicare che, per ogni evento $cc{E}$, il valore di $X$ in corrispondenza di quell'evento è maggiore o uguale di quello di $Y$.

In effetti scrivere $X>=Y$ e stop è inesatto.

[gygabyte017]

"fede.unive":Salve a tutti.
E' noto a tutti che se due variabili aleatorie sono tali che $X>=Y$, allora $bbb{E}(X)>=bbb{E}(Y)$. Ma è vero anche il contrario? Ossia, se $bbb{E}(X)>=bbb{E}(Y)$, posso concludere $X>=Y$?

Direi proprio di no, basta prendere ad esempio (nel discreto che è immediato):
$X$, v.a. che vale $0$ con prob $1/(10)$ e $2$ con prob $9/(10)$;
$Y$, v.a. che vale $1$ con prob $9/(10)$ e $3$ con prob $1/(10)$;

allora si ha che $\mathbb{E}[X] = 0*1/(10) + 2*9/(10) = 9/5$ e $\mathbb{E}[Y]= 1* 9/(10) + 3* 1/(10) = 6/5$.
Quindi, è vero che $\mathbb{E}[X] >= \mathbb{E}[Y]$ ma non è affatto vero che $X >= Y$!