Covarianza fra Moti Browniani

[Ciobix]

Salve a tutti,

questo è il mio problema. Ho due variabili aleatorie così definite
\[
X_{1}(T)=\sigma_{S} \int_0^T\,dW_{1}(u)
\]
\[
X_{2}(T)=\int_0^T \bigg( \sigma \int_0^u e^{-k(u-\tau)}\,dW_{2}(\tau) \bigg)\, du=\sigma \int_0^T \bigg( \int_\tau^T e^{-ku}\,du \bigg) e^{k\tau}\,dW_{2}(\tau)
\]
dove \(\sigma\), \(\sigma_{S}\) e \(k\) sono costanti positive, e \(W_{1}(t)\) e \(W_{2}(t)\) sono moti Browniani con correlazione istantanea \(\rho\), cioè
\[
dW_{1}(t)dW_{2}(t)=\rho dt
\]
dove \(dt\) rappresenta ovviamente una variazione istantanea di tempo.
Ho calcolato agevolmente le varianze di entrambe le variabili (mi trovo col libro), che sono, rispettivamente,
\[
\sigma_{11}^T=\sigma_S^2T
\]
e
\[
\sigma_{22}^T=\frac{\sigma^2}{k^2}\bigg( T-\frac{3+e^{-kT}(e^{-kT}-4)}{2k} \bigg)
\]

Ciò che non riesco a calcolare è la covarianza fra \(X_{1}(T)\) e \(X_{2}(T)\), che il libro pone uguale a
\[
\sigma_{12}^T=\frac{\sigma\sigma_{S}\rho}{k}\bigg[ \frac{(e^{-kT}-1)}{k}+T \bigg]
\]
Potete aiutarmi? Grazie in anticipo!


Qui di seguito ho scritto i passaggi che ho eseguito nel tentativo di calcolare la covarianza; spero possano esservi d'aiuto, come suggerimento o per spiegarmi dove sbaglio.

Nel cercare di calcolare \(\sigma_{12}^T\) ho considerato innanzitutto che \(\sigma_{12}^T=\mathrm{E}\big[X_{1}(T)X_{2}(T)\big]\), dato che \(X_{1}(T)\) e \(X_{2}(T)\) hanno valore atteso nullo.
Applicando la "regola del prodotto di Itô" alla forma differenziale del prodotto delle due variabili, ottengo
\[
d\big(X_{1}(T)X_{2}(T)\big)=X_{1}(T)dX_{2}(T)+dX_{1}(T)X_{2}(T)+dX_{1}(T)dX_{2}(T)
\]
Tutto ciò che mi interessa calcolare è il terzo addendo, ovvero \(dX_{1}(T)\) e \(dX_{2}(T)\). Infatti
\[
\mathrm{E}\big[X_{1}(T)X_{2}(T)\big]=\mathrm{E}\Bigg[ \int_0^T X_{1}(u)dX_{2}(u)\,+ \int_0^T dX_{1}(u)X_{2}(u)\,+ \int_0^T dX_{1}(u)dX_{2}(u)\, \Bigg]=
\]
\[
=\mathrm{E}\Bigg[ \int_0^T dX_{1}(u)dX_{2}(u)\, \Bigg]
\]
poiché \(X_{1}(T)\) e \(X_{2}(T)\) hanno valore atteso nullo. Ma, mentre mi risulta immediato il calcolo di \(dX_{1}(T)\)
\[
dX_{1}(T)=\sigma_{S}dW_{1}(T)
\]
\(dX_{2}(T)\) mi risulta essere pari a zero. Infatti, riscrivendo \(X_{2}(T)\) come
\[
X_{2}(T)=-\frac{\sigma}{k} \Bigg[ e^{-kT}\int_0^T e^{k\tau}dW_{2}(\tau)\,-\int_0^T\,dW_{2}(\tau) \Bigg]
\]
e differenziando, ottengo
\[
dX_{2}(T)=-\frac{\sigma}{k} \Bigg[ e^{-kT}\int_T^{T+dt} e^{k\tau}dW_{2}(\tau)\,-\int_T^{T+dt}\,dW_{2}(\tau) \Bigg]=-\frac{\sigma}{k} \Big[ e^{-kT} \big(e^{kT}dW_{2}(T)\big) -dW_{2}(T) \Big]=0
\]

[DajeForte]

Sbagli a calcolare il differenziale di $X_2$. Riesci a vedere l'errore?

[Ciobix]

"DajeForte":Sbagli a calcolare il differenziale di $X_2$. Riesci a vedere l'errore?

No, dove sbaglio di preciso?

[DajeForte]

"Ciobix":
\[
X_{2}(T)=-\frac{\sigma}{k} \Bigg[ e^{-kT}\int_0^T e^{k\tau}dW_{2}(\tau)\,-\int_0^T\,dW_{2}(\tau) \Bigg]
\]

$ e^{-kT}$ è un processo quindi devi considerarne il differenziale

[Ciobix]

"DajeForte":
$ e^{-kT}$ è un processo quindi devi considerarne il differenziale

Cavolo è vero, non ci avevo pensato!
Ho provato nuovamente a calcolare \(dX_{2}(T)\) considerando
\[
d\Bigg( e^{-kT}\int_0^T e^{k\tau}dW_{2}(\tau)\,\Bigg)=d\big( e^{-kT}\big)\Bigg(\int_0^T e^{k\tau}dW_{2}(\tau)\,\Bigg)+e^{-kT}d\bigg( \int_0^T e^{k\tau}dW_{2}(\tau)\,\bigg)+d\big(e^{-kT}\big)d\Bigg( \int_0^T e^{k\tau}dW_{2}(\tau)\,\Bigg)=
\]
\[
=-ke^{-kT}dt\Bigg(\int_0^T e^{k\tau}dW_{2}(\tau)\,\Bigg)+e^{-kT}\big(e^{kT}dW_{2}(T)\,\big)+-ke^{-kT}dt\big(e^{kT}dW_{2}(T)\,\big)=dW_{2}(T)
\]
poiché in generale \(dW_{2}(t)dt=0\).* Sostituendo il risultato in \(dX_{2}(T)\), viene sempre zero.


*In questo passaggio, ho supposto sia corretto portare il \(dt\) del primo addendo all'interno dell'integrale e che \(dW_{2}(\tau)dt=0\) per qualunque istante di tempo \(\tau\), ma non ne sono sicuro.

[DajeForte]

Parti dall'ultima espressione che hai scritto...

\[
X_{2}(T)=\int_0^T \bigg( \sigma \int_0^u e^{-k(u-\tau)}\,dW_{2}(\tau) \bigg)\, du=\sigma \int_0^T \bigg( \int_\tau^T e^{-ku}\,du \bigg) e^{k\tau}\,dW_{2}(\tau)
\]

per ottenere $E[X_1 X_2]=int_0^T sigma sigma_S p \int_\tau^T e^{-ku} e^{k\tau} du d tau $

[Ciobix]

Come l'ottieni quest'espressione? Non penso si possa semplicemente portate il \(dW_{1}(t)\) all'interno dell'integrale di \(X_{2}(t)\).
Comunque grazie davvero per il tempo che stai dedicando al mio problema

[Ciobix]

Risolto. Grazie a tutti.