Covarianza di X e Y come differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi

[2dboy]

Ciao a tutti!

Sto cercando di risalire alla formula in oggetto:

\(\displaystyle Cov(X,Y) = E[XY]-E[X]E[Y] \)

a partire dalla definizione di covarianza:

\(\displaystyle Cov(X,Y) = E[ (X - E[X]) (Y - E[Y])] \)

Dovrebbe essere un compito facile ma mi sta sfuggendo qualcosa.
Inizio con lo sviluppare il prodotto in questa maniera:

\(\displaystyle E[XY - E[Y]X - E[X]Y + E[X]E[Y]) \)

A questo punto per la linearità del valore atteso posso scrivere:

\(\displaystyle E[XY] -E[E[Y]X] - E[E[X]Y] + E[E[X]E[Y]] = E[XY] - E[X]E[Y] - E[Y]E[X] + ? ? ? \)

Il mio dubbio è nel punto in cui ho messo i punti interrogativi. So che il risultato di

\(\displaystyle E[E[X]E[Y]] \) dovrebbe essere \(\displaystyle E[X]E[Y] \). La formula tornerebbe perfettamente, ma non capisco perché sia così. Cosa succede esattamente in quel passaggio?

Grazie a chiunque vorrà aiutarmi!

[walter891]

In pratica succede che $E[X]E[Y]$ è un valore costante, percui il suo valore atteso sarà ancora se stesso. E' lo stesso ragionamento che fai ad esempio per il passaggio $E[E[X]Y]=E[X]E[Y]$ perchè $E[X]$ è costante e viene portato fuori dal valore atteso.

[2dboy]

Chiarissimo, ora torna tutto. Grazie mille per l'aiuto!