Covarianza

[philipcool]

Se due variabili aleatorie X e Y hanno covarianza nulla e quindi sono incorrelate si può affermare che f(X) e g(X) v.a. siano anche incorrelate comunque scelte f e g?...

[niandra82]

no.

Poni il caso in cui sia f che g sono funzioni degeneri, che a ogni valore X o Y restituiscano 0,, i valori avrebbero una correlazione pari a 1

[DajeForte]

"niandra82":Poni il caso in cui sia f che g sono funzioni degeneri, che a ogni valore X o Y restituiscano 0,, i valori avrebbero una correlazione pari a 1

No. Perchè se f (o g) è costante allora la v.a. X'=f(X) è degenere ed è dunque indipendente da qualsiasi altra v.a. e dunque anche con covarianza nulla.

[niandra82]

Giusto, non ci avevo pensato

[niandra82]

Vediamo se questo di ragionamento fila.

Se tra X e Y c'è una relazione non lineare, diciamo Y=X^2, o qualcosa anche di più complicato, la correlazione può essere zero (o molto vicino a zero). Prendiamo una funzione in X che non faccia altro che linearizzare la relazione, nel nostro esempio $\sqrt{X}$, In questo caso tra Y e f(X) la correlazione sarà uno.



Daje Forte che dici? fila adesso il ragionamento?

[DajeForte]

Si mi pare meglio...
Vedi se riesci a crerlo con i numeri...un esempiomconcreto

[niandra82]

Presupponendo che quando si dice correlazione zero si intendano due variabili con correlazione prossima a zero, perchè sinceramente non penso che esistano variabili con correlazione esattamente 0

genero la X come un'uniforme tra -1000 e 1
> X <- runif(1000,-10000, 1)
Y la determino da X come $\sin(\sin(X))^2$
> Y <- sin(sin(X^2))^2
X e Y sono due variabili aleatorie la cui correlazione è prossima a zero
> cor.test(Y,X)

Pearson's product-moment correlation

data: Y and X
t = -0.6279, df = 998, p-value = 0.5302
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.08176538 0.04217201
sample estimates:
cor
-0.01987303

la correlazione di Y e $\sin(\sin(X))^2$ è 1
> cor.test(Y,sin(sin(X^2))^2)

Pearson's product-moment correlation

data: Y and sin(sin(X^2))^2
t = Inf, df = 998, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
1 1
sample estimates:
cor
1

[DajeForte]

Vediamo questo.

Sia (X,Y) un vettore che assume i valori (0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) con uguale probabilità. Se non sbaglio i conti sono incorrelato ma mon indipendnti. Se però consideriamo (X^2,Y) mi pare che queste suano correlate...controllate dovrebbe funzionare

[philipcool]

Grazie mille per le risposte...mi sembra di capire quindi che la risposta alla mia domanda sia no....come del resto mi aspettavo, sapendo invece che due variabili X e Y sono indipendenti immagino che contrariamente a quanto accade per l'incorrelazione l'indipendenza valga anche per g(X) e per f(Y)...mi confermate questo?