Cos'è la sigma algebra di Borel?
Buonasera a tutti scusatemi per la domanda becera ma ho un problemino di fondo! sulle mie dispense nel paragrafo in cui si parla della misura della probabilità su un insieme di eventi c'è scritto
"è sempre possbile definire in maniera opportuna una topologia tau(omega) e perciò anche una sigma algebra di Borel su omega"
e va bene ... ma che cosa sono una topologia tau(omega) e una sigma algebra di Borel no, perciò vi chiedo aiuto mi spieghereste cos'è sta roba? grazie a tutti!
"è sempre possbile definire in maniera opportuna una topologia tau(omega) e perciò anche una sigma algebra di Borel su omega"
e va bene ... ma che cosa sono una topologia tau(omega) e una sigma algebra di Borel no, perciò vi chiedo aiuto mi spieghereste cos'è sta roba? grazie a tutti!
Risposte
Allora, una topologia su un insieme non vuoto $Omega$ è una famiglia di parti $tau$ che gode delle seguenti proprietà:
1t) $\emptyset,Omega \in tau$;
2t) l'unione di una qualsiasi famiglia $\{ A_i\}_(i \in I)$ di elementi di $tau$ appartiene a $tau$ (insomma, vale l'implicazione $\{ A_i\}_(i \in I) \subseteq tau => \bigcup_(i \in I) A_i \in tau$);
3t) l'intersezione di una qualsiasi famiglia finita $\{ A_1, \ldots ,A_n\}$ di elementi di $tau$ appartiene a $tau$ (insomma, vale l'implicazione $\{ A_1,\ldots ,A_n\} \subseteq tau => \bigcap_(i=1)^n A_i \in tau$).
Se $tau$ è una topologia su $Omega$, gli elementi $A \in tau$ si chiamano insiemi aperti.
Ad esempio, le famiglie $tau_0, tau_d, tau_n$ di parti di $Omega=RR$ costruite come segue:
- $tau_0=\{ \emptyset ,RR\}$;
- $tau_d=P(\RR)$ (qui $P(RR)$ è l'insieme delle parti di $RR$);
- $A \in tau_n \Leftrightarrow A=\emptyset " oppure " A " si scrive come unione di intervalli aperti, ossia " A=\bigcup_(i in I) ]a_i,b_i[ " con " a_i
sono tre topologie su $RR$: la $tau_0$ è detta topologia banale, la $tu_d$ topologia discreta e la $tau_n$ topologia naturale.
La struttura di spazio topologico su $RR$ è quella che ti permette di definire l'operazione di limite e tutta la teoria dell'Analisi; anzi per la teoria del limite che hai studiato in Analisi I/II si mette su $RR$ proprio la topologia naturale $tau_n$.
***
Una $sigma$-algebra di parti di $Omega$ è, invece, una famiglia $M$ di parti di $Omega$ che gode delle seguenti proprietà:
1s) $Omega \in M$;
2s) $M$ contiene il complemento di ogni suo elemento $E$ (insomma vale l'implicazione $E\in M => Omega \setminus E \in M$);
3s) l'unione di una famiglia numerabile di elementi di $M$ è un elemento di $M$ (insomma vale l'implicazione $(E_n) \subseteq M => \bigcup_(n=1)^(+oo) E_n \in M$).
Se $M$ è una $sigma$-algebra su $Omega$, gli elementi $E\in M$ si chiamano insiemi misurabili.
Ad esempio, se $Omega=RR$ allora le famiglie:
- $M_0=\{ \emptyset , RR\}$;
- $M_d=P(RR)$;
sono due $sigma$-algebre su $RR$ dette rispettivamente $sigma$-algebra banale e $sigma$-algebra discreta su $RR$.
Mentre con la topologia ci puoi fare la teoria del limite, con le $sigma$-algebre ci costruisci un altro pezzo importante dell'Analisi, ossia la Teoria della misura e dell'integrazione (secondo Lebesgue).
Si può provare il seguente teorema:
Ne viene che, assegnata una topologia $tau$ su $Omega$, si può determinare la $sigma$-algebra $M_tau$ generata da $tau$: la $M_tau$ si chiama $sigma$-algebra di Borel generata dalla topologia $tau$.
In soldoni, il discorso è questo: appena su $Omega$ metti una topologia $tau$, puoi fare una teoria del limite (quasi del tutto) analoga a quella che hai studiato in Analisi; poi, se aggiungi a $tau$ alcuni insiemi e costruisci così la $sigma$algebra di Borel $M_tau$, su $Omega$ puoi pure fare una "buona" teoria dell'integrazione.
Ciò è buono perchè in probabilità si usano sia i limiti sia gli integrali, epperò non sempre stai in $RR$ (dove queste cose le hai già definite e sai bene come funzionano).
Per un po' di cultura su questi fatti di teoria della misura e di topologia (che sono fondamentali in probabilità) puoi vedere i primi paragrafi di Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, oppure qui.
Un altro libro che dev'essere carino è Billingsley, Probability and Measure, Wiley.
1t) $\emptyset,Omega \in tau$;
2t) l'unione di una qualsiasi famiglia $\{ A_i\}_(i \in I)$ di elementi di $tau$ appartiene a $tau$ (insomma, vale l'implicazione $\{ A_i\}_(i \in I) \subseteq tau => \bigcup_(i \in I) A_i \in tau$);
3t) l'intersezione di una qualsiasi famiglia finita $\{ A_1, \ldots ,A_n\}$ di elementi di $tau$ appartiene a $tau$ (insomma, vale l'implicazione $\{ A_1,\ldots ,A_n\} \subseteq tau => \bigcap_(i=1)^n A_i \in tau$).
Se $tau$ è una topologia su $Omega$, gli elementi $A \in tau$ si chiamano insiemi aperti.
Ad esempio, le famiglie $tau_0, tau_d, tau_n$ di parti di $Omega=RR$ costruite come segue:
- $tau_0=\{ \emptyset ,RR\}$;
- $tau_d=P(\RR)$ (qui $P(RR)$ è l'insieme delle parti di $RR$);
- $A \in tau_n \Leftrightarrow A=\emptyset " oppure " A " si scrive come unione di intervalli aperti, ossia " A=\bigcup_(i in I) ]a_i,b_i[ " con " a_i
sono tre topologie su $RR$: la $tau_0$ è detta topologia banale, la $tu_d$ topologia discreta e la $tau_n$ topologia naturale.
La struttura di spazio topologico su $RR$ è quella che ti permette di definire l'operazione di limite e tutta la teoria dell'Analisi; anzi per la teoria del limite che hai studiato in Analisi I/II si mette su $RR$ proprio la topologia naturale $tau_n$.
***
Una $sigma$-algebra di parti di $Omega$ è, invece, una famiglia $M$ di parti di $Omega$ che gode delle seguenti proprietà:
1s) $Omega \in M$;
2s) $M$ contiene il complemento di ogni suo elemento $E$ (insomma vale l'implicazione $E\in M => Omega \setminus E \in M$);
3s) l'unione di una famiglia numerabile di elementi di $M$ è un elemento di $M$ (insomma vale l'implicazione $(E_n) \subseteq M => \bigcup_(n=1)^(+oo) E_n \in M$).
Se $M$ è una $sigma$-algebra su $Omega$, gli elementi $E\in M$ si chiamano insiemi misurabili.
Ad esempio, se $Omega=RR$ allora le famiglie:
- $M_0=\{ \emptyset , RR\}$;
- $M_d=P(RR)$;
sono due $sigma$-algebre su $RR$ dette rispettivamente $sigma$-algebra banale e $sigma$-algebra discreta su $RR$.
Mentre con la topologia ci puoi fare la teoria del limite, con le $sigma$-algebre ci costruisci un altro pezzo importante dell'Analisi, ossia la Teoria della misura e dell'integrazione (secondo Lebesgue).
Si può provare il seguente teorema:
Siano $Omega$ non vuoto ed $S$ una famiglia (qualsiasi) di parti di $Omega$.
Esiste un'unica $sigma$-algebra $M_S$ che contiene tutti gli elementi di $S$ e che gode della seguente proprietà:
$AA sigma"-algebra " M " tale che " S\subseteq M, " risulta " M_S\subseteq M \quad$;
la $M_S$ si chiama $sigma$-algebra generata da $S$.
Ne viene che, assegnata una topologia $tau$ su $Omega$, si può determinare la $sigma$-algebra $M_tau$ generata da $tau$: la $M_tau$ si chiama $sigma$-algebra di Borel generata dalla topologia $tau$.
In soldoni, il discorso è questo: appena su $Omega$ metti una topologia $tau$, puoi fare una teoria del limite (quasi del tutto) analoga a quella che hai studiato in Analisi; poi, se aggiungi a $tau$ alcuni insiemi e costruisci così la $sigma$algebra di Borel $M_tau$, su $Omega$ puoi pure fare una "buona" teoria dell'integrazione.
Ciò è buono perchè in probabilità si usano sia i limiti sia gli integrali, epperò non sempre stai in $RR$ (dove queste cose le hai già definite e sai bene come funzionano).
Per un po' di cultura su questi fatti di teoria della misura e di topologia (che sono fondamentali in probabilità) puoi vedere i primi paragrafi di Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, oppure qui.
Un altro libro che dev'essere carino è Billingsley, Probability and Measure, Wiley.
.....sconvolgente!!! ...... mi ero persa il meglio ...grazie mille
Non posso non ringraziare,
davvero illuminante.
davvero illuminante.
mi sto scontrando anch io con queste tematiche e leggendo il post (davvero fatto bene) mi è sorto un dubbio, che sul libro non trovo (ora qui con me ho solo il Giusti): si può affermare che ogni sigma-algebra è una topologia? al vedere le condizioni mi direbbe che funziona..
"Ulyx3s":
mi è sorto un dubbio, che sul libro non trovo (ora qui con me ho solo il Giusti): si può affermare che ogni sigma-algebra è una topologia? al vedere le condizioni mi direbbe che funziona..
Eh.... è una questione un po' spinosa per me. Ci vorrebbe qualche conoscienza maggiore della mia, però ti dico quello che penso.
Il problema è nella proprietà 2t di gugo (mi associo ai complimenti sul post). Infatti la sigma ci da l'unione contabile, la topologia anche più forte.
Vedi questo poi aspettiamo l'intervento di qualcunaltro.
$Omega=[0,1]$ se ne fai l'isieme delle parti è una sigma algebra ed una topologia.
Prendi la sigma di Borel di $Omega$ (la chiamo $B$). Considera l'insieme di Vitali $V$. Già qua si entra sul'assioma della scelta sul quale io non ne so molto.
Ora $V$ è uncountable (più che contabile) e non appartiene a $B$.
Però se considero $uu_(i in V){i}$ non è in $B$, ma ciascuno degli ${i}$ per $i in V$ è in $B$ perchè è un punto e $B$ li contiene.
Ora quindi non so se sia bene formalizzato o se ci sia qualche problema nascosto che ora non vedo (qualche intervento mi farebbe piacere) però in generale non credo che avendo una sigma algebra hai una topologia.
Si potrebbe dire qualcosa magari vedendo la cardinalità della sigma algebra: mi viene da dire che se la sigma ha cardinalità numerabile invece la questione fila perchè se timetti a fare unioni qualsiasi ricadi poi su una unione contabile.
Bene è quello che penso adesso aspettiamo cosa dicono altri.
Ciao a tutti
Spero che gugo82 possa darmi una risposta...
non ho capito una cosa:
nella topologia naturale $tau_n$ perchè non si considerano $a_i$ e $b_i$ pur essi facenti parte di $ Omega $? Forse ciò significa che la lunghezza ed il numero degli intervalli aperti di $A$ cambia in un modo (finito o infinito) di volte in modo tale da far comprendere tutti gli elementi di $R$? me lo immagino un pò come spezzettare uno spaghetto $ Omega $ in punti diversi poi li uniamo ed otteniamo una $A$ appartenente a $tau_n$ poi prendendo un'altro spaghetto che rappresenta nuovamente $ Omega $ lo spezzetto in modo diverso poi unisco i pezzettini ed ottengo un'altra $A$ che appartiene nuovamente a $tau_n$. intuitivamente è giusto questo ragionamento?
Spero che gugo82 possa darmi una risposta...
non ho capito una cosa:
nella topologia naturale $tau_n$ perchè non si considerano $a_i$ e $b_i$ pur essi facenti parte di $ Omega $? Forse ciò significa che la lunghezza ed il numero degli intervalli aperti di $A$ cambia in un modo (finito o infinito) di volte in modo tale da far comprendere tutti gli elementi di $R$? me lo immagino un pò come spezzettare uno spaghetto $ Omega $ in punti diversi poi li uniamo ed otteniamo una $A$ appartenente a $tau_n$ poi prendendo un'altro spaghetto che rappresenta nuovamente $ Omega $ lo spezzetto in modo diverso poi unisco i pezzettini ed ottengo un'altra $A$ che appartiene nuovamente a $tau_n$. intuitivamente è giusto questo ragionamento?
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