Convergenza variabili aleatorie

[Claudia87an]

Qualcuno sa spiegarmi come mai se ho una successione di variabili aleatorie $\{W_n\}$ che è una martingala e una catena di Markov, il fatto che:
$\mathbb{E}(W_n^2)= 1+\frac{\sigma^2}{m^2-m}(1-m^{-n})$
e il fatto che
$mathbb{E}((W_{n+k}-W_n)^2)=\frac{\sigma^2m^{-n}}{m^2-m}(1-m^{-k})$
dovrebbero dirmi che la successione $W_n$ converge in media quadratica a una variabile aleatoria $W$ che è t.c.
$\mathbb{E}(W)=1$ e $var(W)=\frac{\sigma^2}{m^2-m}$

[DajeForte]

Non saprei bene come aiutarti visto non conosco il contesto nel quale stai lavorando e le tue richieste non sembrano essere banali.

Comunque sembrerebbe che (dalla seconda formula) tu voglia far vedere che la successione sia di Cauchy (ritengo che $m>1$).
L'idea che mi viene è che lavori in un bel Hilbert (sembrerebbe la funzioni quadro sommabili) e quindi usi la completezza.
Diciamo che questa è la prima considerazione che mi viene in mente.

P.S. ma col fatto che sia una catena hai anche il processo è limitato?

[Claudia87an]

Si, scusate non l'ho specificato ma $m>1$.
Cosa intendi per processo limitato?
Il fatto che è una catena di Markov significa che:
$P(W_n=k|W_{n-1}=j,W_{n-2}=i_{n-2},\ldots,W_0=i_0)=P(W_n=k|W_{n-1}=j)$
Provo a vedere se ho capito il tuo ragionamento:
tu dici che sto lavorando in uno spazio completo in cui ogni successione di Cauchy converge.
Però nella seconda formula io conosco $\mathbb{E}((W_{n+k}-W_n)^2)$ e non $|W_{n+k}-W_n|$ quale dovrebbe essere la successione di Cauchy?

[DajeForte]

Infatti appunto sto cercando di interpretare dal nulla quello che stai facendo.

Cercando di essere un briciolo più specifico...magari poi ci aiuterà qualche misurista visto che alla fine la questione è simile.

${W_n}_{n in NN}$ è una successione di v.a. in $L^2$ (spazio delle v.a. Reali quadro sommabili);
dotato di questo prodotto scalare $:=E[XY]$ questo è un Hilber (con distanza $d^2(X,Y)= =E[(X-Y)^2]$).

Ora $d^2(W_{n+k},W_n)=E[W_{n+k}^2]-E[W_n^2]=(sigma^2)/(m^2-m){m^(-n)-m^(-n-k)}$
che fa vedere che è di Cauchy. Mi sembra fili, no?

Qua non mi pare abbia usato il fatto che sia una catena di Markov; per quanto riguarda la media e la varianza credo si debba usare un teorema di convergenza e magari qua il fatto che sia una catena aiuta. Per questo ti chiedevo se era limitato, ovvero se esiste $K$ tale che $|W_n|<=K$

[Claudia87an]

Intanto, grazie per la disponibilità.
Però $d^2(W_[n+k},W_n)$ non dovrebbe essere $\mathbb{E}((W_{n+k}-W_n)^2)=\mathbb{E}(W_{n+k}^2)+\mathbb{E}(W_n^2)-2\mathbb{E}(W_{n+k}W_n)$?

$W_n$ è una successione di Cauchy con la distanza $d^1(A,B)=\mathbb{E}(A^2)-\mathbb{E}(B^2)$, quindi, con questa distanza converge cioè $\exists$ una variabile aleatoria $W$ t.c. $\forall\epsilon>0, \exists n_1$ t.c. $\forall n\geq n_1$ si ha:
$d^1(W,W_n)=\mathbb{E}(W^2)-\mathbb{E}(W_n^2)\leq\epsilon$

Questo però non significa che converge in media quadratica.
Per avere la convergenza in media quadratica dovrei avere che $\exists$ una variabile aleatoria $W$ t.c. $\forall\epsilon>0, \exists n_1$ t.c. $\forall n\geq n_1$ si ha:
$\mathbb{E}((W-W_n)^2)\leq\epsilon$

Ora $\mathbb{E}((W-W_n)^2)=\mathbb{E}(W^2)+\mathbb{E}(W_n^2)-2\mathbb{E}(WW_n)$ quindi non mi sembra vada bene...
Forse non ho capito bene il tuo ragionamento?

P.S. la successione $W_n$ non è limitata.

[DajeForte]

Prego.

Devi usare la martingalità del processo; daltronde lo hai scritto te stessa nel primo post.

$d^2(W_{n+k},W_n)=E[(W_{n+k}-W_n)^2]=E[W_{n+k}^2]+E[W_n^2]-2E[W_{n+k}W_n]$.

Ora l'ultimo termine: $E[W_{n+k}W_n]=E[E[W_{n+k}W_n|F_n] ]=E[W_nE[W_{n+k}|F_n]]=E[W_n^2]$

Dunque $d^2(W_{n+k},W_n)=E[(W_{n+k}-W_n)^2]=E[W_{n+k}^2]-E[W_n^2]$

Daltronde nel primo post come hai calcolato: $E[(W_{n+k}-W_n)^2]$?

[Claudia87an]

Scusa, hai perfettamente ragione.
Ok, quindi converge in media quadratica ad una variabile aleatoria $W$.
Ora proverò a capire come mai la media e la varianza sono proprio quelle del teorema.
Scusa ancora e grazie!!

[DajeForte]

Prego.
Ti chiedevo se erano bounded perchè così usi la convergenza dominata. Quindi hai una catena a stati infiniti?
Vedi un po' te; ricorda comunque che la v.a. limite è ovviamente in $L^2$.

P.S. per l'altro post l'idea che mi viene è:
Convergenza monotona per le serie, che sono finite per il comportamento come $m^{-n}$ (che devo dire non sapevo; quindi lo prendo per buono); poi penserei alla disuguaglianza di Markov-Cheybychef (non si scrive così, lo so!) per poi applicare Borel Cantelli visto che le serie convergono.

Ciao

Edit: Comunque se nelle hp c'è il fatto che sia una catena di markov da qualche parte deve essere usata. Chiedi informazioni al tuo prof.