Convergenza successione di variabili aleatorie
Ciao a tutti, io avrei bisogno di aiuto per risolvere un esercizio sulla convergenza di variabili aleatorie...il problema è che io non ho potuto frequentare le lezioni del prof e sul libro l'argomento è trattato molto alla veloce e non riesco a capirlo... l'esercizio è:
Sia
$ {X_n}_n $ una successione di v.a. tali che per ogni $ n $ , $ X_n $ è distribuita come $ chi^2(n) $ . Trovare la convergenza della successione $ {X_n/n}_n $ .
Non voglio una risoluzone dell'esercizio, vorrei che qualcuno mi spiegasse il procedimento o mi desse almeno uno spunto da cui partire...
grazie mille in anticipo!!!!
Sia
$ {X_n}_n $ una successione di v.a. tali che per ogni $ n $ , $ X_n $ è distribuita come $ chi^2(n) $ . Trovare la convergenza della successione $ {X_n/n}_n $ .
Non voglio una risoluzone dell'esercizio, vorrei che qualcuno mi spiegasse il procedimento o mi desse almeno uno spunto da cui partire...
grazie mille in anticipo!!!!
Risposte
quale tipo di convergenza vuoi trovare?...
Nell'esercizio non è specificato...penso di dover analizzare sia la convergenza in legge che quella in probabilità...
un buon punto di inizio è ricordare le definizioni:
Convergenza in legge:
Quest'ultima è facile da studiare ricordando i teoremi che la legano alla convergenza della funzione di distribuzione [tex]F_X(t)=\mathbb{P}(X>t)[/tex].
Convergenza in legge:
Si dice che la successione di variabili aleatorie $X_n$ converge in probabilità ad una variabile aleatoria $X$ se per ogni $\epsilon >0$ si ha che
[tex]\ldisplaystyle\lim_{n\to +\infty}\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon)=0[/tex]
Si dice che la successione di variabili aleatorie $X_n$ converge in legge ad una variabile aleatoria $X$ se [tex]\mathbb{E}[f(X_n)]\to \mathbb{E}[f(X)][/tex] per ogni funzione $f$ continua e limitata
Quest'ultima è facile da studiare ricordando i teoremi che la legano alla convergenza della funzione di distribuzione [tex]F_X(t)=\mathbb{P}(X>t)[/tex].
Quando parli dei teoremi che la legano alla convergenza della funzione di distribuzione intendi che converge in legge se e solo se
$ lim_(n -> oo ) F_X_n (x) = F_X (x) $ ?
Se non sbeglio la funzione di distribuzione del $ chi^2 $ è
$ F_X(x)= 1/(2^(n/2)Gamma(n/2))e^(-x/2)x^(n/2-1) $
quindi è sufficiente che ne calcoli il limite per verificare se converge in legge?
$ lim_(n -> oo ) F_X_n (x) = F_X (x) $ ?
Se non sbeglio la funzione di distribuzione del $ chi^2 $ è
$ F_X(x)= 1/(2^(n/2)Gamma(n/2))e^(-x/2)x^(n/2-1) $
quindi è sufficiente che ne calcoli il limite per verificare se converge in legge?
si, prima devi trovare però la funzione di distribuzione legata a $X_n/n$.
Per far questo devi calcolare $P(X_n/n >t)=P(X_n> nt)$ riconducendoti alle informazioni che già hai.
Per far questo devi calcolare $P(X_n/n >t)=P(X_n> nt)$ riconducendoti alle informazioni che già hai.
non riesco a capire come calcolarmi la probabilità che dici...a cosa dovrei ricondurmi esattamente?
tu conosci la distribuzione di $X_n$.
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