Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

[feddy]

Ciao a tutti, mi sono bloccato su questo esercizio che credevo facile, eppure ora per me non lo è

Sia $( \xi_i)_{i \geq 1}$ una sequenza di variabili aleatorie, dove per ciascuna $\xi$ si ha $P(\xi=+1)=P(\xi=-1)=\frac{1}{2}$.
Si consideri la serie

$\sum_{n \geq 1} \frac{\xi_n}{n}$

Si mostri che questa converge quasi certamente

Pensavo di applicare solamente la definizione di convergenza quasi certa, ossia provare che $\lim_m P(|X_n-X|< \varepsilon \text{ per ogni }n \geq m)=1$ ma non sono riuscito a cavarci molto. Infatti avrei

$P(|\sum_{n \geq 1} \frac{\xi_n}{n}|< \varepsilon)$, e non saprei proprio come gestire questo termine.

[Lo_zio_Tom]

Le variabili della sucessione $xi _n/n$ si distribuiscono così:

$Y_n=xi _n/n={{: ( -1/n ,;1/2 ),(+ 1/n , ;1/2 ) :}$

...e la successione converge quasi certamente a zero

Dimostrazione:

Applico il primo lemma di Borel Cantelli:

$sum_(n=1)^(+oo) mathbb{P}[|Y_n|>epsilon]<=sum_(n=1)^(floor(1/epsilon)) 1=floor(1/epsilon)<+oo$

dato che $epsilon$ è fissato

Quindi per il teorema di conservazione della continuità[nota]ipotizzando che le variabili siano indipendenti e considerando che
${{: ( Sigma_n mathbb{E}[Y_n]=0 ),( Sigma_n mathbb{V}[Y_n]=Sigma_n1/n^2<+oo ) :}$[/nota] (Continuous Mapping Theorem) converge a zero qc anche la somma

[feddy]

Molte grazie tommik per la risposta. Purtroppo però non riesco a capire la tua applicazione del lemma di Borel - Cantelli (che non conoscevo). In particolare, non capisco come hai maggiorato la prima sommatoria.

Correggimi se sbaglio: tu hai mostrato che $\sum_{n} P(|Y_n|> \varepsilon) < + \infty$, da cui segue che $P(\lim"sup"_n X_n )=0$, e questo mostra la convergenza quasi certa, giusto?

[feddy]

Ottimo, ora mi torna tutto. Mi prenderò il tempo necessario per fare altri esercizi sulla convergenza q.c., visto che ultimamente la sto usando in modo massiccio. Ti ringrazio ancora per la pazienza e la spiegazione.

Ne approfitto, per chiederti delucidazioni anche sulla convergenza in $L^1$ della sommatoria. Sostanzialmente pensavo di fare lo "stesso" ragionamento sopra, ossia notare che ($Y_n$ distribuita come nei post sopra) $E[|Y_n|]=\frac{1}{n} \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \frac{1}{2} = \frac{1}{n}$ q.o., da cui segue che ogni variabile $Y_n$ converge a $0$ in $L^1$, perciò anche la loro somma farà lo stesso.

[feddy]

ciao arnett, grazie per l'intervento. Quello che dici in effetti è vero. Purtroppo non conoscevo nemmeno tale risultato delle tre serie di Kolmogorov. Scegliendo $0

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[feddy]

Avevo iniziato a controllare le tre ipotesi con $K \leq \frac{1}{n}$ ma ho visto che le hai già controllate te, ti ringrazio! Con $0

Ora però non saprei come giustificare la convergenza a $0$ in $L^1$, poiché maggiorando la sommatoria non riesco a cavare fuori nulla

[feddy]

Qui sopra intendevi dire che non sei certo che converga a $0$ in $L^1$, vero?

[feddy]

Per l'uniforme integrabilità, devo mostrare che dato $\varepsilon >0$ posso sempre trovare $K\geq 0$ tale che $E[|Y_n| 1_{|Y_n| \geq K}] < \varepsilon$

Ma $|Y_n|=\frac{1}{n}$, quindi se scelgo $K> \frac{1}{n}$, allora ho che $E[|Y_n|1_{|Y_n| \geq K}] =0 < \varepsilon$

[feddy]

Ups questo va mostrato per la somma però

[feddy]

Update: ho "scoperto" che questo esercizio va risolto utilizzando il seguente teorema (cui dobbiamo acnora arrivare tra l'altro), ecco il motivo per cui non capivo dove andare a parare.

Sia $(X_n)_n$ una martingala w.r.t $(F_n)_n$ e sia $F_{\infty}= \sigma(F_n: n \in NN) $ Allora sono equivalenti
i) La martingala $(X_n)_n$ è uniformemente integrabile
ii) Esiste una variable aleatoria $F_{\infty}$ misurabile $X$ tale che $X_n \rarr X$ q.c. e in $L^1$

La domanda ora è: nel testo dell'esercizio, chi è la martingala? Quello che mi verrebbe naturale dire è che sia $X_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{X_k}{k}$ con la filtrazione "ovvia" data da $F_n= \sigma(X_1,\ldots,X_n)$.

L'uniforme integrabilità di quest'ultima però ancora non mi viene: dovrei mostrare che $\text{sup}_{n} E[|X_n|] < \infty$, ma purtroppo maggiorando non vado da nessuno parte poiché

$E[|X_n|] =E[|\sum_{k=1}^{n} \frac{X_k}{k}|] \leq sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} E[|X_k|] = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \cdot 1 \rarr_{n \rarr + infty} + \infty$

Idee?

[DajeForte]

"feddy":
L'uniforme integrabilità di quest'ultima però ancora non mi viene: dovrei mostrare che $\text{sup}_{n} E[|X_n|] < \infty$

No. Questo significa che la successione è bounded in L1. Questo è più debole della uniforme integrabilità.

Tuttavia, come avete già visto, la martingala è bounded in L2. Questo si che implica che la successione è UI e dunque avete fatto.

Vi segnalo infine che il teorema che avete citato, ha un'altra equivalenza:

esiste X integrabile tale che $X_n=E[X|F_n]$.

Questa variabile X non è detto sia unica. $X=lim_n X_n$ verifica questa proprietà.
Da questo si capisce che il limite non può essere 0, come avevate detto in precedenza.

[feddy]

Grazie DajeForte, purtroppo stavo provando a svolgere l'esercizio senza avere i prerequisiti necesari ! Nel frattempo ho risolto usando la limitatezza in $L^2$, come hai fatto giustamente notare!

Per completezza:
Considerando la martingala $(M_n)_n$ con $M_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{X_k}{k}$ e filtrazione naturale data da $F_n= \sigma (X_1, \ldots, X_n)$ si ha

$E[M_n^2]=\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} E[X_j X_k]=\sum_{k=1}^{n} E[X_k^2] \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ dove ho usato il fatto che le $X_i$ sono i.i.d

da cui la limitatezza in $L^2$. Dunque la successione è uniformemente integrabile e dunque esiste $M \in F_{\infty}$ tale che $M_n \rarr M$ a.s. !