Convergenza quasi certa

[Alxxx28]

Salve a tutti,
non mi è ben chiara la definizione seguente:

Sia [tex]X_n[/tex] una successione di v.a. ,[tex]X_n \xrightarrow[n \to \infty] {q.c} X[/tex] se
[tex]P\{ \omega \in \Omega | \lim_{n \to \infty}X_n(\omega)=X(\omega) \}=1[/tex]

Ho provato a costruire questo esempio:
considero la seguente successione [tex]X_n=\frac{1}{n}+1[/tex] e suppongo che [tex]X[/tex] può assumere due valori: 0 e 1 con
[tex]P(X=0)=P(X=0)=1/2[/tex]
Allora ho [tex]\lim_{n \to \infty}X_n=\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n}+1)=1[/tex], ma la variabile [tex]X[/tex] può assumere anche il valore 0.
Quindi nel mio caso [tex]P\{ \lim_{n \to \infty} X_n=1 \}=1/2[/tex], esatto?
Quest' ultimo valore dipende da [tex]P(X=1)[/tex], corretto?

Grazie in anticipo!

[DajeForte]

Ma non ho capito bene: hai creato questo esempio con lo scopo di ottenere cosa?

"Alxxx28":Quindi nel mio caso [tex]P\{ \lim_{n \to \infty} X_n=1 \}=1/2[/tex], esatto?

Questo è sbagliato perchè quella probabilità vale uno e ti dice che le $X_n$ convergono quasi certamente ad $X=1$.

Se quello che volevi scrivere era questo $P(\ lim_{n to infty} X_n=X)=1/2$, è giusto
e ti dice che le $X_n$ non convergono quasi certamente alla $X$ da te definita.

[Alxxx28]

Ah ecco, quindi siccome [tex]X_n[/tex] , per [tex]n \to +\infty[/tex] può assumere solo il valore $1$, allora $P(\ lim_{n to infty} X_n=1)=1$.
Questo significa che sbagliavo a dire che il valore di $P(\ lim_{n to infty} X_n=1)$ dipende [tex]P(X=1)[/tex], esatto?

Ho creato l' esempio per chiarirmi le idee

[DajeForte]

"Alxxx28":Questo significa che sbagliavo a dire che il valore di $P(\ lim_{n to infty} X_n=1)$ dipende [tex]P(X=1)[/tex], esatto?

Si non dipende. D'altronde se cambi la $X$ quella probabilità rimane la stessa (non ci compare $X$).

Quindi ti riassumo che la convergenza quasi certa si ha quando:

l'insieme degli $omega\ in \ Omega$ tali che $lim X_n(omega)=X(omega)$ è un insieme quasi certo.

Secondo me dovresti costruire un esempio di una successione di v.a.che converge in distribuzione (se la hai fatta) ma non quasi certamente, in maniera da capire la differenza.

[dissonance]

"DajeForte":Secondo me dovresti costruire un esempio di una successione di v.a.che converge in distribuzione (se la hai fatta) ma non quasi certamente, in maniera da capire la differenza.

E a questo scopo mi permetto di dare un suggerimento:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#461567

[Alxxx28]

Grazie ad entrambi!

@dissonance: va ben oltre il mio livello di preparazione quel suggerimento
ho sentito parlare di topologia ma non ne so proprio nulla.

[dissonance]

Lascia stare quello che c'è scritto, non c'entra nulla con il discorso probabilistico che si fa qui. Solo il grafico ti interessa. Anzi facciamo una cosa, lo riporto:



Questa successione di funzioni ti fornisce un esempio di una successione di variabili aleatorie che converge in probabilità ma non quasi certamente.

[Alxxx28]

Ah ok. Senti ma la larghezza del rettangolo diminuisce al crescere di [tex]n[/tex]?
Ad ogni rettangolo è associata una funzione, esatto?

[dissonance]

Si. In realtà, anche se nel grafico si vede un rettangolo, non dovrebbero esserci i segmenti verticali. Ognuna di quelle è una funzione costante a tratti: vale 0 tranne che su un segmentino sempre più piccolo, su cui vale 1. Se interpreti l'intervallo $[0, 1]$ come uno spazio di probabilità allora quella è una successione di variabili aleatorie. E' chiaro perché converge in probabilità alla v.a. nulla?

[Alxxx28]

Se considero la successione (la chiamo [tex]X_n[/tex]) di v.a., passando al limite per [tex]n \to + \infty[/tex] assume solo il valore [tex]0[/tex], quindi per qualsiasi [tex]\epsilon>0[/tex] l' evento tale che [tex]|X_n - X|> \epsilon[/tex] è impossibile, dato che anche la variabile [tex]X[/tex] assume solo il valore [tex]0[/tex].
E' questo il motivo?

[dissonance]

Assolutamente no. Intanto $X=0$, quindi non è necessario scrivere $|X_n-X|$. Quello che devi calcolare è

$P(|X_n|>epsilon)$

prova a distinguere i due casi $epsilon>1, epsilon<1$. Soprattutto ti interessa $epsilon <1$. Qual è la probabilità che $|X_n |

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[Alxxx28]

Mi sa proprio che non mi è ben chiaro il grafico ancora.
Allora la probabilità di [tex]X_n[/tex] è [tex]1[/tex] solo in un certo intervallo.
Quest' intervallo rappresenta i valori assunti da [tex]X_n[/tex] e si restringe sempre più al crescere di [tex]n[/tex], corretto?
Ed è questo il motivo per cui devo considerare i casi [tex]\epsilon<1[/tex] ed [tex]\epsilon>1[/tex]?

[dissonance]

Si e no. Lo devi dire meglio. In quel grafico l'asse delle $x$ rappresenta lo spazio dei campioni, cosicché ogni segmento è un evento di probabilità pari alla sua lunghezza. Allora l'evento $|X_n|>epsilon$ corrisponde ai punti dell'asse delle $x$ tali che il grafico di $X_n$ è più in alto del livello $epsilon$. Se $epsilon<1$, diciamo $epsilon=1/2$, quali sono questi punti? Ragiona graficamente: disegna il grafico di $X_n$ e segna sull'asse delle $y$ il valore $epsilon$. Poi determina i punti cercati sull'asse delle $X$.

Risposta: la base del rettangolo corrispondente al grafico di $X_n$.

[Alxxx28]

"dissonance":Si e no. Lo devi dire meglio. In quel grafico l'asse delle $x$ rappresenta lo spazio dei campioni, cosicché ogni segmento è un evento di probabilità pari alla sua lunghezza.

Fin qui tutto chiaro, poi non più perchè non capisco cosa rappresenta l' asse [tex]y[/tex].
Riguardo a ciò che dicevo prima, è sbagliato dire che in generale la probabilità di [tex]X_n[/tex] è 1 vero?
Scusami se ti sto facendo perdere tempo

[dissonance]

L'asse delle $y$ rappresenta l'insieme dei valori assumibili dalle tue v.a. : ricordati che una variabile aleatoria è una funzione e che generalmente non si può rappresentare con un grafico perché lo spazio dei campioni è un ente astratto non disegnabile. In questo caso invece lo spazio dei campioni ha una rappresentazione geometrica e per questo possiamo disegnare dei grafici.

è sbagliato dire che in generale la probabilità di X_n è 1 vero?

Non è che è sbagliato, non ha proprio nessun senso! $X_n$ è una variabile aleatoria, non un evento.

Scusami se ti sto facendo perdere tempo

Nessuna perdita di tempo, siamo qui proprio per discutere.

[Alxxx28]

Capito. Ora mi è chiaro il perchè sul fatto che se $\epsilon=1/2$, allora l' evento [tex]|X_n|>\epsilon[/tex] ha probabilità uguale alla lunghezza della base del rettangolo, quindi al crescere di [tex]n[/tex] questa probabilità diventa sempre più piccola.
Quindi se ad esempio [tex][a,b][/tex] rappresenta l'intervallo della base, e supponendo che $\epsilon=1/2$ abbiamo:
[tex]P(|X_n|<\epsilon)=1- (b-a)[/tex], corretto?

[dissonance]

Si, stai prendendo l'evento complementare, in sostanza.

Comunque non è necessario prendere $epsilon=1/2$, lo dicevo solo per suggerire un disegno. Infatti qualsiasi $epsilon>0$ tu prenda, risulta sempre $P(|X_n|>epsilon) \to 0$.

[Alxxx28]

Si avevo preso quel valore di $\epsilon$ giusto come esempio.
Grazie mille per le spiegazioni dissonance!