Convergenza in probabilità e quasi certa
Ciao a tutti! Sono in difficoltà con questo esercizio...
Si consideri una successione di variabili aleatorie i.i.d \(\displaystyle X_1, X2, .... \) tali che \(\displaystyle P(X_1 = 0) = P(X_1=2) = \frac{1}{2} \) si ponga \(\displaystyle Y_n = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^n X_k \)
a) Si determini se \(\displaystyle Y_n \xrightarrow{p}0 \)
b) Si determini se \(\displaystyle Y_n \xrightarrow{q.c}0 \)
allora, basterebbe risolvere il secondo pezzo per poi dire che se \(\displaystyle Y_n \) converge quasi certamente allora converge anche in probabilità, ma così non vale, quindi
per risolvere il punto a) io ho ragionato così, fisso un \(\displaystyle \epsilon >0 \) dopodichè guardo come si comporta \(\displaystyle P (Y_n > \epsilon) \), dato che comunque gli \(\displaystyle X_k \) non possono essere uguali a 0 posso continuare e dire che \(\displaystyle P (Y_n > \epsilon) \leq P(X_1=2 ...... X_n=2) = \frac {1}{2^n}\xrightarrow{}0 \) può andare bene? è sufficiente per poi dire che \(\displaystyle Y_n \) converge in probabilità?
per il punto b) a me verrebbe in mente di usare il secondo lemma di Borel-Cantelli ma non so in che modo...
grazie in anticipo!
Si consideri una successione di variabili aleatorie i.i.d \(\displaystyle X_1, X2, .... \) tali che \(\displaystyle P(X_1 = 0) = P(X_1=2) = \frac{1}{2} \) si ponga \(\displaystyle Y_n = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^n X_k \)
a) Si determini se \(\displaystyle Y_n \xrightarrow{p}0 \)
b) Si determini se \(\displaystyle Y_n \xrightarrow{q.c}0 \)
allora, basterebbe risolvere il secondo pezzo per poi dire che se \(\displaystyle Y_n \) converge quasi certamente allora converge anche in probabilità, ma così non vale, quindi
per risolvere il punto a) io ho ragionato così, fisso un \(\displaystyle \epsilon >0 \) dopodichè guardo come si comporta \(\displaystyle P (Y_n > \epsilon) \), dato che comunque gli \(\displaystyle X_k \) non possono essere uguali a 0 posso continuare e dire che \(\displaystyle P (Y_n > \epsilon) \leq P(X_1=2 ...... X_n=2) = \frac {1}{2^n}\xrightarrow{}0 \) può andare bene? è sufficiente per poi dire che \(\displaystyle Y_n \) converge in probabilità?
per il punto b) a me verrebbe in mente di usare il secondo lemma di Borel-Cantelli ma non so in che modo...
grazie in anticipo!
Risposte
A titolo di chiarezza... per cosa sta "i.i.d"?
variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite 
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