Convergenza in probabilità della norma di un vettore aleator
Se ho due successioni di variabili aleatorie $\{X_n\}_n$ e $\{Y_n\}_n$ e so che sia $X_n$ che $Y_n$ convergono a $0$ in Probabilità come faccio a dimostrare che $||((X_n \, Y_n\))||$ converge a $0$ in probabilità?
Io so che $||((X_n \, Y_n\))||=\sqrt{X_n^2+Y_n^2}\leq |X_n|+|Y_n|$.
So che $\forall\epsilon>0$ si ha che:
$lim_{n\to\+\infty}P(|X_n| >\epsilon)=0$ e che
$lim_{n\to\+\infty}P(|Y_n| >\epsilon)=0$
Ma come faccio a dimostrare che :
$lim_{n\to\+\infty}P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}>\epsilon)=0$?
Grazie a tutti!
Io so che $||((X_n \, Y_n\))||=\sqrt{X_n^2+Y_n^2}\leq |X_n|+|Y_n|$.
So che $\forall\epsilon>0$ si ha che:
$lim_{n\to\+\infty}P(|X_n| >\epsilon)=0$ e che
$lim_{n\to\+\infty}P(|Y_n| >\epsilon)=0$
Ma come faccio a dimostrare che :
$lim_{n\to\+\infty}P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}>\epsilon)=0$?
Grazie a tutti!
Risposte
"stelladinatale":
Io so che $||((X_n \, Y_n\))||=\sqrt{X_n^2+Y_n^2}$.
Aspetta un attimo: da quello che so, la norma deve essere un numero, mentre quella che hai scritto tu, cioè $\sqrt{X_n^2+Y_n^2}$, è una funzione...
"retrocomputer":
[quote="stelladinatale"]
Io so che $||((X_n \, Y_n\))||=\sqrt{X_n^2+Y_n^2}$.
Aspetta un attimo: da quello che so, la norma deve essere un numero, mentre quella che hai scritto tu, cioè $\sqrt{X_n^2+Y_n^2}$, è una funzione...[/quote]
se è la norma euclidea e la scrittura $||((X_n \, Y_n\))||$ vuole dire che $||X_n \- Y_n\||$ allora stelladinatale ha scritto giusto.
In tal caso, Sostanzialmente l'esercizio ti sta chiedendo di dimostrare la disuguaglianza triangolare per la convergenza in probabilità. Puoi fare con le mani ragionando su $P(||X_n \- Y_n\||\leq \epsilon)$ o usare qualche caratterizzazione tramite integrali della conv. in probabilità.
Grazie a entrambi per la risposta.
Quando scrivo che voglio dimostrare che:
$lim_{n\to\+\infty}P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}>\epsilon)=0$ intendo dire che voglio dimostrare che:
$lim_{n\to\+\infty}P(\omega\in\Omega : \sqrt{X_n(\omega)^2+Y_n(\omega)^2}>\epsilon)=0$
dove $(\Omega, F, P)$ è lo spazio di probabilità su cui sono definite le variabili aleatorie $X_n$ e le variabili aleatorie $Y_n$ $\forall n\in \mathbb{N}$,
quindi effetivamente la norma è un numero.
Non ho capito come faccio a usare la disuguaglianza triangolare però.
Quando scrivo che voglio dimostrare che:
$lim_{n\to\+\infty}P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}>\epsilon)=0$ intendo dire che voglio dimostrare che:
$lim_{n\to\+\infty}P(\omega\in\Omega : \sqrt{X_n(\omega)^2+Y_n(\omega)^2}>\epsilon)=0$
dove $(\Omega, F, P)$ è lo spazio di probabilità su cui sono definite le variabili aleatorie $X_n$ e le variabili aleatorie $Y_n$ $\forall n\in \mathbb{N}$,
quindi effetivamente la norma è un numero.
Non ho capito come faccio a usare la disuguaglianza triangolare però.
La usi "puntualmente", cioè sugli $X(\omega)$, come hai scritto. E penso che fu^2 volesse indirizzarti verso il passaggio al complementare, cioè provare che la probabilità del complementare di ciò che hai scritto tende a 1...
Scusate se torno su questo post ma non sono ancora riuscita a dimostrare quello che volevo.
Io so che $\forall\epsilon>0$ si ha:
$lim_{n\to\+\infty}P(|X_n| >\epsilon)=0$ e
$lim_{n\to\+\infty}P(|Y_n| >\epsilon)=0$
Devo dimostrare che:
$lim_{n\to\+\infty}P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}>\epsilon)=0$?
Ora $P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}>\epsilon)\leq P(|X_n|+|Y_n|>\epsilon)$
Però non posso dire (per lo meno non è così evidente) che:
$P(|X_n|+|Y_n|\geq\epsilon)\leq P(|X_n|\geq\epsilon)+P(|Y_n|\geq\epsilon)$?
Perchè se così fosse avrei finito ovviamente.
Anche passando al complementare non riesco a maggiorare o minorare in maniera appropriata:
L'unica cosa che mi è venuta in mente è questa
$P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}\leq\epsilon)\leqP(|X_n|\leq\epsilon)$
ma ovviamente non mi porta da nessuna parte perchè facendo i limiti ho qualcosa di minore o uguale a $1$.
Grazie a tutti
Io so che $\forall\epsilon>0$ si ha:
$lim_{n\to\+\infty}P(|X_n| >\epsilon)=0$ e
$lim_{n\to\+\infty}P(|Y_n| >\epsilon)=0$
Devo dimostrare che:
$lim_{n\to\+\infty}P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}>\epsilon)=0$?
Ora $P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}>\epsilon)\leq P(|X_n|+|Y_n|>\epsilon)$
Però non posso dire (per lo meno non è così evidente) che:
$P(|X_n|+|Y_n|\geq\epsilon)\leq P(|X_n|\geq\epsilon)+P(|Y_n|\geq\epsilon)$?
Perchè se così fosse avrei finito ovviamente.
Anche passando al complementare non riesco a maggiorare o minorare in maniera appropriata:
L'unica cosa che mi è venuta in mente è questa
$P(\sqrt{X_n^2+Y_n^2}\leq\epsilon)\leqP(|X_n|\leq\epsilon)$
ma ovviamente non mi porta da nessuna parte perchè facendo i limiti ho qualcosa di minore o uguale a $1$.
Grazie a tutti
Alcuni suggerimenti:
-tu sai per ipotesi che l'evento $A_{\epsilon}^n={|X_n|\leq \epsilon}$ e l'evento $B_{\epsilon}^n={|Y_n|\leq \epsilon}$ hanno probabilità di almeno $1-\epsilon$, per $n$ sufficienetemente grande.
-Allora considera l'evento $C_{\epsilon}^n=A_{\epsilon}^n\cap B_{\epsilon}^n$, usando delle stime sul complementare, che probabilità ha questo evento? Molto vicina a uno, come è facile supporre, ma quanto vicina?
-A questo punto l'ultimo passaggio da porsi è facile ed è: su questo evento, che stime puoi dare di $\sqrt{X^2+Y^2}?
Ricorda che la conv. in probabilità la tratti come quella quasi certa, solo che al posto di avere tutto lo spazio a meno di insiemi di misura nulla, devi lavorare su insiemi di probabilità vicina a piacere a uno, ma sempre strettamente minore di uno e quindi devi giocare con gli eventi e i loro complementari in maniera più attenta.
-tu sai per ipotesi che l'evento $A_{\epsilon}^n={|X_n|\leq \epsilon}$ e l'evento $B_{\epsilon}^n={|Y_n|\leq \epsilon}$ hanno probabilità di almeno $1-\epsilon$, per $n$ sufficienetemente grande.
-Allora considera l'evento $C_{\epsilon}^n=A_{\epsilon}^n\cap B_{\epsilon}^n$, usando delle stime sul complementare, che probabilità ha questo evento? Molto vicina a uno, come è facile supporre, ma quanto vicina?
-A questo punto l'ultimo passaggio da porsi è facile ed è: su questo evento, che stime puoi dare di $\sqrt{X^2+Y^2}?
Ricorda che la conv. in probabilità la tratti come quella quasi certa, solo che al posto di avere tutto lo spazio a meno di insiemi di misura nulla, devi lavorare su insiemi di probabilità vicina a piacere a uno, ma sempre strettamente minore di uno e quindi devi giocare con gli eventi e i loro complementari in maniera più attenta.
Ok, ti ringrazio davvero tanto, penso di aver capito! 
Ti do una dimostrazione diretta di questo fatto.
Forse già lo sai ma vale che:
$exists C,c>0 " tale che " forall x in RR^n \qquad c||x||_{infty} leq ||x||_p leq C ||x||_{infty}$,
dove $||x||_{infty}=max{x_i, \ i=1,...,n}$ ed $||x||_p = ( sum_{i=1}^n |x_i|^p)^(1/p)$.
In particolare a noi serve la seconda disuguaglianza nel caso in cui $n=2$ e per la quale puoi ottenere che una costante è $C=sqrt(2)$.
Dunque (cambiando leggermente la notazione per adattarla al thread) hai che
$forall varepsilon>0, \ \ ||(X_n,Y_n)||_2 > varepsilon \ sube \ C max{X_n,\ Y_n}> varepsilon$.
Dunque $P(sqrt(X_n^2+Y_n^2)> varepsilon) leq P( max{X_n, \ Y_n} > varepsilon/C) = P(X_n> varepsilon/C cup Y_n > varepsilon /C ) leq$
$leq P(X_n> varepsilon/C) + P( Y_n > varepsilon/C)$.
Forse già lo sai ma vale che:
$exists C,c>0 " tale che " forall x in RR^n \qquad c||x||_{infty} leq ||x||_p leq C ||x||_{infty}$,
dove $||x||_{infty}=max{x_i, \ i=1,...,n}$ ed $||x||_p = ( sum_{i=1}^n |x_i|^p)^(1/p)$.
In particolare a noi serve la seconda disuguaglianza nel caso in cui $n=2$ e per la quale puoi ottenere che una costante è $C=sqrt(2)$.
Dunque (cambiando leggermente la notazione per adattarla al thread) hai che
$forall varepsilon>0, \ \ ||(X_n,Y_n)||_2 > varepsilon \ sube \ C max{X_n,\ Y_n}> varepsilon$.
Dunque $P(sqrt(X_n^2+Y_n^2)> varepsilon) leq P( max{X_n, \ Y_n} > varepsilon/C) = P(X_n> varepsilon/C cup Y_n > varepsilon /C ) leq$
$leq P(X_n> varepsilon/C) + P( Y_n > varepsilon/C)$.
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