Convergenza in probabilità

[alessandro.roma.1654]

buon anno a tutti ragazzi
consideriamo la successione di V.A $X_1,...X_j...X_n$ indipendenti e tutti con la medesima di distribuzione
$f(x)_X{(4/x^5\text{ }1<=x<+infty),(0\text{ }x<1):}$
dire se converge in distibuzione e in probabilità $Y_n=Max(X_1,...X_j...X_n)$

bene dai miei conti risulta che non converge in distribuzione adesso in base alla definizione vediamo se converge in probabilità

$lim_((m->infty),(n->infty))P{|X_m-X_n|<\epsilon}=1$

benissimo non ci rimane che calcolare questo bellissimo integrale doppio su quella splendida regione del piano e poi mandare $m$ e $n$ all infinito..( a parole faccio tutto ma ha fatti mi fermo prima del previsto :,D )
$lim_((m->infty),(n->infty)) int_{|X_m-X_n|<\epsilon} f(x_n,x_m) dx_(n)dx_(m)=1$

ok basta teoria e iniziamo a capire come fare questo integrale di una successione
dai miei conti la funzione di ripartizione della funzione $Y_n$ è $ F_(Y_n)={(0 x<1),((1-1/x)^n 1<=x
prima domanda ditemi( tanto solo tommik risponde) se la la densità congiunta è giusta
$ f(x_n,x_m)_(X_(n),X_(m))={(mn(1-1/(x_n)^4)^(n-1)(1-1/(x_m)^4)^(m-1)16/((x_n)^5(x_m)^5)\text{ }1
poi il dominio di integrazione è il seguente

$D={(x_n,x_m):(1
il problema piu grande di questo bellissimo integrale doppio spezzato in due domini normali rispetto a $x_n$ e che non si arriva mai ad un risultato in quanto integrale dipende da $n$ e $m$ quindi come dovrei fare ??

[alessandro.roma.1654]

Il mio problema è che studio studio cerco di fare cose in possibili ma a volte mi perdo in un bicchiere di acqua.. Allora tornando a noi hai ragione da vendere su quello che dici infatti avevo trascurato il fatto che la convergenza in distribuzione e condizione necessaria ma non suff per la convergenza in probabilità. e qui e tutta colpa mia quindi concludo esercizio in modo banale... d altronde visto che sono un Po matto alla fine sono riuscito a fare quel integrale iterato e visto che $n$ $m$ vanno a infinito il risultato è ovviamente zero (per def doveva fare 1 se convergeva) quindi non converge in probabilità anche per definizione di cauchy (scelgo le strade sempre più complicate per fare le cose e per un ingegnere e un brutto vizio ) poi tornando al tuo dubbio su la convergenza in distribuzione ti posso dire che è giusta la F.d.Ripartizione quindi per $n$ che va all infinito esce una pseudo funzione di ripartizione che in realtà non rispetta le proprietà matematiche di definizione questo perché $lim_(n->infty)(1-1/y^4)^n=0$ quindi per $1

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[Lo_zio_Tom]

Non servono tutti quei conti.

Molto semplicemente, controlliamo la convergenza in Legge:

$F_X(x)=1-1/x^4$

la CDF del massimo viene


$F_(Y_n)(t)={{: ( 0 , ;x<1 ),( (1-1/x^4)^n , ;x>=1 ) :}$

quindi facilmente si vede che la F vale zero ovunque e quindi non converge in Legge. Se non converge in legge non converge nemmeno in probabilità, essendo la convergenza in legge condizione necessaria per quella in probabilità

[alessandro.roma.1654]

Pefetto grazie. Nel mio esercizio esce che $F_Y{(0 \text{ }y<=1),(0 \text{ }1<=y

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[DajeForte]

La successione di variabili $Y_n$ è monotona crescente. Pertanto esiste il limite quasi certamente. Tuttavia questo limite è $+ \infty$.