Convergenza in legge.
Ho solo un problemino a concludere che nel punto a). Credo di aver nel modo corretto.
Siano \( X_1,X_2,\ldots \overset{iid}{\sim} \operatorname{Unif}(0,1) \). Definiamo
\[ Y_n = \operatorname{min}\{X_1,\ldots,X_n \} \]
Dimostra i seguenti risultati di convergenza indipendentemente uno dall'altro, i.e. senza usare alcuna relazione tra i due modi di convergenza.
a) \( Y_n \xrightarrow{d} 0 \), dove la convergenza è in legge.
b) \( Y_n \xrightarrow{p} 0 \), dove la convergenza è di probabilità.
Per a) ho fatto così, ma non sono sicurissimo di come concludere
Definiamo \( Z_n : = n(1-Y_n) \). Allora abbiamo che
\[ \mathbb{P}[ Z_n \geq x] = \mathbb{P}[n(1-Y_n) \geq x] = \mathbb{P}[Y_n \leq 1- x/n]
= \mathbb{P}[Y_n < 1- x/n] = 1 - \mathbb{P}[Y_n \geq 1- x/n] \]
\[ = 1 - \prod_{i=1}^{n} \mathbb{P}[X_i \geq 1 - x/n] = 1 - \prod_{i=1}^{n} \left( 1- \mathbb{P}[X_i \leq 1 - x/n] \right) = 1- (1-1 + x/n)^n = 1 - (x/n)^n \xrightarrow{n \to \infty} 1 \]
Da qui come faccio a concludere che \( Y_n \to 0 \) in legge??
Per b) ho fatto così, sia \( \epsilon > 0 \), abbiamo che
\[ \mathbb{P}[ \left| Y_n - 0 \right| > \epsilon ] = \mathbb{P}[ \left| Y_n \right| > \epsilon ] = \mathbb{P}[ Y_n > \epsilon ] = \prod_{i=1}^{n} \mathbb{P}[ X_i > \epsilon ] \]
\[ = \prod_{i=1}^{n}\left( 1 - \mathbb{P}[ X_i \leq \epsilon ] \right) = (1- \epsilon)^n \]
con \( 0 < \epsilon < 1 \) allora abbiamo che \( 0 < ( 1- \epsilon)< 1 \) e dunque quando \( n \to \infty \)
\[ (1- \epsilon)^n \to 0 \]
mentre invece se \( \epsilon \geq 1 \) allora \( \mathbb{P}[ X_i \leq \epsilon ] = 1 \) per ogni \( 1 \leq i \leq n \), e dunque
\[ \prod_{i=1}^{n}\left( 1 - \mathbb{P}[ X_i \leq \epsilon ] \right) = 0 \]
Siano \( X_1,X_2,\ldots \overset{iid}{\sim} \operatorname{Unif}(0,1) \). Definiamo
\[ Y_n = \operatorname{min}\{X_1,\ldots,X_n \} \]
Dimostra i seguenti risultati di convergenza indipendentemente uno dall'altro, i.e. senza usare alcuna relazione tra i due modi di convergenza.
a) \( Y_n \xrightarrow{d} 0 \), dove la convergenza è in legge.
b) \( Y_n \xrightarrow{p} 0 \), dove la convergenza è di probabilità.
Per a) ho fatto così, ma non sono sicurissimo di come concludere
Definiamo \( Z_n : = n(1-Y_n) \). Allora abbiamo che
\[ \mathbb{P}[ Z_n \geq x] = \mathbb{P}[n(1-Y_n) \geq x] = \mathbb{P}[Y_n \leq 1- x/n]
= \mathbb{P}[Y_n < 1- x/n] = 1 - \mathbb{P}[Y_n \geq 1- x/n] \]
\[ = 1 - \prod_{i=1}^{n} \mathbb{P}[X_i \geq 1 - x/n] = 1 - \prod_{i=1}^{n} \left( 1- \mathbb{P}[X_i \leq 1 - x/n] \right) = 1- (1-1 + x/n)^n = 1 - (x/n)^n \xrightarrow{n \to \infty} 1 \]
Da qui come faccio a concludere che \( Y_n \to 0 \) in legge??
Per b) ho fatto così, sia \( \epsilon > 0 \), abbiamo che
\[ \mathbb{P}[ \left| Y_n - 0 \right| > \epsilon ] = \mathbb{P}[ \left| Y_n \right| > \epsilon ] = \mathbb{P}[ Y_n > \epsilon ] = \prod_{i=1}^{n} \mathbb{P}[ X_i > \epsilon ] \]
\[ = \prod_{i=1}^{n}\left( 1 - \mathbb{P}[ X_i \leq \epsilon ] \right) = (1- \epsilon)^n \]
con \( 0 < \epsilon < 1 \) allora abbiamo che \( 0 < ( 1- \epsilon)< 1 \) e dunque quando \( n \to \infty \)
\[ (1- \epsilon)^n \to 0 \]
mentre invece se \( \epsilon \geq 1 \) allora \( \mathbb{P}[ X_i \leq \epsilon ] = 1 \) per ogni \( 1 \leq i \leq n \), e dunque
\[ \prod_{i=1}^{n}\left( 1 - \mathbb{P}[ X_i \leq \epsilon ] \right) = 0 \]
Risposte
La successione ${Y_n}_{n in NN}$ è monotona non crescente
Dim:
... ed inferiormente limitata dallo zero. Quindi converge quasi certamente a zero... e quindi converge anche in probabilità ed in legge. Fine
Oppure puoi controllare che converga in probabilità tramite la definizione (quasi immediato) e quindi se converge in probabilità converge anche in legge...
Oppure ancora puoi calcolare il limite della $F_{Y}(y)$ e vedere che converge ad una distribuzion e degenere in zero...
$F_{Y_n}(t)={{: ( 0 , ;t<0 ),( 1-(1-t)^n , ;0<=t<1),(1 , ;t>=1 ) :}$
il limite di tale CDF è ovviamente
$F_{Y_n}(t)={{: ( 0 , ;t<0 ),(1 , ;t>=0 ) :}$
Dim:
$Y_{n+1}=min{X_{n+1},Y_n}<=Y_n$
... ed inferiormente limitata dallo zero. Quindi converge quasi certamente a zero... e quindi converge anche in probabilità ed in legge. Fine
Oppure puoi controllare che converga in probabilità tramite la definizione (quasi immediato) e quindi se converge in probabilità converge anche in legge...
Oppure ancora puoi calcolare il limite della $F_{Y}(y)$ e vedere che converge ad una distribuzion e degenere in zero...
$F_{Y_n}(t)={{: ( 0 , ;t<0 ),( 1-(1-t)^n , ;0<=t<1),(1 , ;t>=1 ) :}$
il limite di tale CDF è ovviamente
$F_{Y_n}(t)={{: ( 0 , ;t<0 ),(1 , ;t>=0 ) :}$
"tommik":
La successione ${Y_n}_{n in NN}$ è monotona non crescente
Dim:
$Y_{n+1}=min{X_{n+1},Y_n}<=Y_n$
... ed inferiormente limitata dallo zero. Quindi converge quasi certamente a zero... e quindi converge anche in probabilità ed in legge. Fine
Oppure puoi controllare che converga in probabilità tramite la definizione (quasi immediato) e quindi se converge in probabilità converge anche in legge...
Si, ma mi sembra che usi sempre il fatto che converge in probabilità e quindi converge anche il legge, ma non possiamo usarlo.
"tommik":
Oppure ancora puoi calcolare il limite della $F_{Y}(y)$ e vedere che converge a zero...
$F_{Y_n}(t)={{: ( 0 , ;t<0 ),( 1-(1-t)^n , ;0<=t<1),(1 , ;t>=1 ) :}$
il limite di tale CDF è ovviamente
$F_{Y_n}(t)={{: ( 0 , ;t<0 ),(1 , ;t>=0 ) :}$
Intendi che converge alla funzione di ripartizione di 0.
"3m0o":
Intendi che converge alla funzione di ripartizione di 0.
Certo! considera che la convergenza in legge non è una convergenza di successioni di v.a. ma è una convergenza di successioni di Funzioni di ripartizione... Quindi si tratta di scrivere la successione di FdR e determinarne il limite. In questo caso la successione di FdR converge alla FdR della variabile degenere in $X_0=0$.
Fai la stessa cosa con il $max(X_1,...,X_n)$ e vedrai che il tutto converge a 1
"3m0o":
Dimostra i seguenti risultati di convergenza indipendentemente uno dall'altro, i.e. senza usare alcuna relazione tra i due modi di convergenza.
infatti io ho usato solo la relazione fra
1. convergenza quasi certa e convergenza in probabilità
2. convergenza quasi certa e convergenza in legge
senza usare assolutamente alcuna relazione fra convergenza in probabilità ed in legge
PS: i calcoli di dettagio per la convergenza in probabilità li farei molto ma molto più semplicemente così
$P(Y_n>\epsilon)=(1-\epsilon)^n rarr 0$
(quando $n rarr oo$)
...essendo, come noto, $P(Y_n<=epsilon)=F_(Y_n)(epsilon)=1-(1-epsilon)^n$
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