Convergenza con TLC?
Ho trovato due esercizi sulla convergenza e vorrei sapere da voi se si possono risolvere entrambi con il TLC oppure per altre vie, magari anche più facili.
Ho pensato al TLC perchè in base a questo se si ha una somma di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, allora al tendere delle $X_i$ campionarie a infinito, la somma converge ad una variabile normale.
Quindi ho calcolato la media che mi viene 0 poichè $E(X_i-Y_i)=E(X_i)-E(Y_i)=lambda-lambda=0$ mentre la varianza sarà $Var(X_i-Y_i)=Var(X_i)+Var(Y_i)=lambda^2+lambda^2=2lambda^2$. Quindi converge alla $N(0,2lambda^2)$.
Il secondo esercizio è questo invece:
Qui per il (i) ho provato a procedere nello stesso modo dell'esercizio precedente, o meglio tenendo presente che $lim_{n\to\infty} (M_n-mu)/(\sigma) sqrt(n)=N(0,1)$ e che la famiglia gamma è chiusa rispetto alla somma di variabili indipendenti.
So che per la legge gamma media e varianza valgono rispettivamente $alpha/lambda$ e $alpha/lambda^2$. Anche in questo caso posso applicare quindi il TLC?
Per il (ii) ho verificato prima di tutto che quella fosse una f.d.p e non so se vi risulta ma a me è parsa una Gamma Inversa cioè una $GammaInv(2,1)$ quindi con media $1$ e varianza nulla. Però anche qui non so come controllare se converge o meno la media campionaria di queste Gamma inverse.
Date le successioni di v.a. $(X_n)_{n>=1}$ e $(Y_n)_{n>=1}$, esponenziali di media $\lambda$ nota e tra loro indipendenti e identicamente distribuite. La variabile aleatoria $T_n=n^(-1/2) \sum_1^n (X_i-Y_i)$ converge in legge a qualche variabile aleatoria al tendere di n all'infinito?
Ho pensato al TLC perchè in base a questo se si ha una somma di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, allora al tendere delle $X_i$ campionarie a infinito, la somma converge ad una variabile normale.
Quindi ho calcolato la media che mi viene 0 poichè $E(X_i-Y_i)=E(X_i)-E(Y_i)=lambda-lambda=0$ mentre la varianza sarà $Var(X_i-Y_i)=Var(X_i)+Var(Y_i)=lambda^2+lambda^2=2lambda^2$. Quindi converge alla $N(0,2lambda^2)$.
Il secondo esercizio è questo invece:
La variabile aleatoria $M_n$, media campionaria delle v.a. indipendenti e identicamente distribuite $X_1,...,X_n$ converge per $n\tooo$ a qualche v.a. quando:
(i) $X\simGamma(x|alpha,lambda)$ con $alpha$,$lambda$ reali positivi noti?
(ii) $X\simx^(-3)e^(-1/x)$ con $X>0$
Qui per il (i) ho provato a procedere nello stesso modo dell'esercizio precedente, o meglio tenendo presente che $lim_{n\to\infty} (M_n-mu)/(\sigma) sqrt(n)=N(0,1)$ e che la famiglia gamma è chiusa rispetto alla somma di variabili indipendenti.
So che per la legge gamma media e varianza valgono rispettivamente $alpha/lambda$ e $alpha/lambda^2$. Anche in questo caso posso applicare quindi il TLC?
Per il (ii) ho verificato prima di tutto che quella fosse una f.d.p e non so se vi risulta ma a me è parsa una Gamma Inversa cioè una $GammaInv(2,1)$ quindi con media $1$ e varianza nulla. Però anche qui non so come controllare se converge o meno la media campionaria di queste Gamma inverse.
Risposte
Nel primo caso è sostanzialmente corretto, anche se non si capisce se $lambda$ è la media o il parametro. Inoltre hai scritto la varianza uguale alla media.
guarda qua: http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers
Per il secondo ti direi di applicare la legge dei grandi numeri, prova un po' poi vediamo meglio nel dettaglio se hai altri problemi.
guarda qua: http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers
Per il secondo ti direi di applicare la legge dei grandi numeri, prova un po' poi vediamo meglio nel dettaglio se hai altri problemi.
"DajeForte":
Nel primo caso è sostanzialmente corretto, anche se non si capisce se $lambda$ è la media o il parametro. Inoltre hai scritto la varianza uguale alla media.
Ho corretto. Avevo sbagliato scrivendo.
"DajeForte":
Per il secondo ti direi di applicare la legge dei grandi numeri, prova un po' poi vediamo meglio nel dettaglio se hai altri problemi.
Mi sono letto la pagina che mi hai postato, però non riesco a metterla in pratica nell'esercizio, non avendo mai visto un applicazione di questa fino ad ora.
$X_i sim "Gamma"(alpha,lambda)$; i.i.d.
$M_n=1/n sum_{i=1}^n X_i$
Essendo $E|X_i|<+infty$ hai che $M_n$ converge q.c. a $mu=E[X_i]$
$M_n=1/n sum_{i=1}^n X_i$
Essendo $E|X_i|<+infty$ hai che $M_n$ converge q.c. a $mu=E[X_i]$
Non ho capito se mi basta sapere che $E|X_i|
Per la successione di v.a. ${X_n}_{n >=1}$ si dice che vale la legge forte dei grandi numeri se, definito con $S_n=sum_{i=1}^n X_i$, si ha che $(S_n-E[S_n])/n$ converge q.c. a 0.
Un teorema che ci da con dizione necessaria e sufficiente alla validità della legge è:
Siano ${X_n}_{n >=1}$ v.a.i.i.d. Condizione necessaria e sufficiente affinchè valga la legge forte dei grandi numeri è che $E[X_i]=0$.
Sai applicarlo ora al caso tuo?
Un teorema che ci da con dizione necessaria e sufficiente alla validità della legge è:
Siano ${X_n}_{n >=1}$ v.a.i.i.d. Condizione necessaria e sufficiente affinchè valga la legge forte dei grandi numeri è che $E[X_i]=0$.
Sai applicarlo ora al caso tuo?
Nel caso della gamma avrei media $alpha/lambda$ dove $alpha$ e $lambda$ dal testo erano reali, positivi e quindi la media è $!=0$.
Nel caso della seconda (che ho detto segue la gamma inversa) la media è $1$, quindi anch'essa non nulla.
Nel caso della seconda (che ho detto segue la gamma inversa) la media è $1$, quindi anch'essa non nulla.
no aspetta no stai capendo.
La condizione non è importante il valore ma il fatto che essa esista finita. Io il teorema te lo ho messo così perchè questa è una versione standard dalla quale discende tutta una tecnica dimostartiva.
Se rivisti un attimo quello che ti ho scritto puoi otenere quest
Siano ${X_n}_{n >=1}$ v.a.i.i.d. tali che $E[|X_i|]<+infty$ (ovvero la media sia finita). Allora $M_n=1/nsum_{i=1}^n X_i$ converge quasi certamente a $mu=E[X_i]$.
La condizione non è importante il valore ma il fatto che essa esista finita. Io il teorema te lo ho messo così perchè questa è una versione standard dalla quale discende tutta una tecnica dimostartiva.
Se rivisti un attimo quello che ti ho scritto puoi otenere quest
Siano ${X_n}_{n >=1}$ v.a.i.i.d. tali che $E[|X_i|]<+infty$ (ovvero la media sia finita). Allora $M_n=1/nsum_{i=1}^n X_i$ converge quasi certamente a $mu=E[X_i]$.
Si è proprio quello che ho scritto sopra io. $M_n$ converge nel primo caso a quel valore della media, e nel secondo a 1 ma senza dire a quale v.a. converge giusto? O sto facendo confusione?
Converge alla variabile aleatoria costante nella media.
Converge ad una costante cioè ad una v.a. che è fissa.
Converge ad una costante cioè ad una v.a. che è fissa.
Ah ecco, non capivo quest'ultima cosa. Dato che ci sono potrei chiederti un altra cosa?
Se io ho una v.a. X che segue la legge esponenziale con media nota $\lambda$, come trovo che legge segue la v.a. Z, intesa come parte intera di X? e che legge segue $Y=⌊X⌋$ (che sarebbe il massimo intero non superiore ad X)?
Stavo pensando che siccome la legge esponenziale ha la $x\inRR^+$ mentre a noi serve la parte intera di X, oppure il massimo intero non superiore ad X, allora dovrei prendere $x\inNN$?Quindi diventerebbe una legge discreta, ma cosa cambia tra la Z e la Y. O meglio come faccio a differenziare le due leggi?
Se io ho una v.a. X che segue la legge esponenziale con media nota $\lambda$, come trovo che legge segue la v.a. Z, intesa come parte intera di X? e che legge segue $Y=⌊X⌋$ (che sarebbe il massimo intero non superiore ad X)?
Stavo pensando che siccome la legge esponenziale ha la $x\inRR^+$ mentre a noi serve la parte intera di X, oppure il massimo intero non superiore ad X, allora dovrei prendere $x\inNN$?Quindi diventerebbe una legge discreta, ma cosa cambia tra la Z e la Y. O meglio come faccio a differenziare le due leggi?
Come cosa cambia? Come dici te una diventa discreta, mentre l'altra è continua.
Se $Y=⌊X⌋$ allora $Y$ assume tutti i valori naturali, e $P(Y=n)=P(n<=X
Se $Y=⌊X⌋$ allora $Y$ assume tutti i valori naturali, e $P(Y=n)=P(n<=X
Aspetta. Mi chiedi la differenza tra la Y e Z ma come è definita Z? da come lo dici è la stessa di Y.
La parte intera per un numero reale x è il più grande intero minore od uguale a x, quindi è la stessa cosa di dire massimo intero non superiore ad x.
A meno che il testo del mio esercizio, è stato da me inteso male, e chieda la v.a. Z, intesa come parte intera della v.a. X,ma non saprei che legge possa seguire. Ricontrollando la tavola delle leggi ho pensato a quella di Laplace, ma potrebbe essere una cavolata.
Nel caso della $Y=⌊X⌋$ con conseguente $P(Y=n)=P(n≤X
A meno che il testo del mio esercizio, è stato da me inteso male, e chieda la v.a. Z, intesa come parte intera della v.a. X,ma non saprei che legge possa seguire. Ricontrollando la tavola delle leggi ho pensato a quella di Laplace, ma potrebbe essere una cavolata.
Nel caso della $Y=⌊X⌋$ con conseguente $P(Y=n)=P(n≤X
Non ho afferrato la differenza o quello che vuoi dirmi.
L'esercizio mi dice:
Se io ho una v.a. X che segue la legge esponenziale con media nota λ, come trovo che legge segue la v.a. Z, intesa come parte intera di X? e che legge segue Y=⌊X⌋ (che sarebbe il massimo intero non superiore ad X)?
Il mio dubbio è che la parte intera per un numero reale x è il più grande intero minore od uguale a x, quindi è la stessa cosa di dire massimo intero non superiore ad x. Ed è per questo motivo che ho scritto in precedenza che Y,Z non capivo che differenza avessero(e continuo a non capirla).
Ho però pensato che la differenza può essere il fatto che il testo del mio esercizio è stato da me inteso male, e che chieda la v.a. Z, intesa come parte intera della v.a. X e non la parte intera della $x\inRR^+$ della legge esponenziale.
Se io ho una v.a. X che segue la legge esponenziale con media nota λ, come trovo che legge segue la v.a. Z, intesa come parte intera di X? e che legge segue Y=⌊X⌋ (che sarebbe il massimo intero non superiore ad X)?
Il mio dubbio è che la parte intera per un numero reale x è il più grande intero minore od uguale a x, quindi è la stessa cosa di dire massimo intero non superiore ad x. Ed è per questo motivo che ho scritto in precedenza che Y,Z non capivo che differenza avessero(e continuo a non capirla).
Ho però pensato che la differenza può essere il fatto che il testo del mio esercizio è stato da me inteso male, e che chieda la v.a. Z, intesa come parte intera della v.a. X e non la parte intera della $x\inRR^+$ della legge esponenziale.
DajeForte l'hai capito il mio dubbio?
Ma sinceramente non capisco. Se l'italiano non mi tradisce sembra che la Z e la Y sono state definite alla stessa maniera e dunque sono uguali. Provo a ri
Leggere ma pare così
Leggere ma pare così
Non lo so neanche io, però dal testo mi è parso così. Chiedo a te che, a differenza mia, non sei alle prime armi con la materia.
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