Contrarre pdf distribuzione di Weibull

[ndrini]

L'inqudramento di questo problema è la produzione eolica di una generatore non a 80 m (altezza per il quale ho i dati), ma a 20 m.

La differenza di velocità del vento a queste due quote è data (nota la velocità del vento a 80 m) dalla formula

$ v = v_0 · (h/h_0)^n$

Il problema è che ho i parametri della distribuzione di Weibull (parametro K e parametro λ) per a 80 m
e non a 20, come mi serve.
Come posso passare dai primi (a 80 m ) ai secondi (a 20 m)?


Conosco la distribuzione di densità di probabilità per $v_0$ variabile aleatoria (a 80 m)
che è

$ f(v_0)= ( k/λ^k ) · v_0 ^ (k-1) · e^( -(v_0/λ)^k) $


Se volessi la densità di probabilità $f(v_0)$ potrei farlo, a partire da $v$, ottenendo il valore di $v_0$ dalla prima formula e lo inserendolo nella seconda.

Cioè:
$ v_0 = v · (h_0/h)^n$

e quindi
$ f(v_0)= (k/λ^k) · ( v · (h_0/h)^n )^ (k-1) · e^( -( (v · (h_0/h)^n)/λ)^k) $

Il problema è che io ho bisogno del contrario: nota $f(v_0)$ voglio sapere $f(v)$.

Quindi provo a fare così:
scrivo $f(v_0)$ (dopo aver sostituito l'uguaglianza $ v_0 = v · (h_0/h)^n$) per vedere se mi viene fuori qualche cosa del tipo $f(v_0) = g(v) · f(v)$
da cui saprei che $ f(v) = f(v_0)/ g(v) $

Facendo i conti mi viene:

partendo da
$ f(v_0)= f(v) = ( k/λ^k ) · ( v · (h_0/h)^n )^ (k-1) · e^( -( (v · (h_0/h)^n)/λ)^k) $
chiamo
$ A = ( k/λ^k )$
$ B = (h_0/h)^(n·(k-1))$
$ C = e ^(- (v/λ) · ( ( h_0/h)^(n·k)-1) $

$ f(v_0)= f(v) ·B ·C $
e quindi

$ f(v) = f(v_0) / (B ·C )$

Vi risulta?

Andrea

[ndrini]

Rivedendo i calcoli, mi sa che ho fatto un errore.

Scrivevo
$ C(v) = e ^(- (v/λ) · ( ( h_0/h)^(n·k)-1) $
ma probabilmente è
$ C(v) = e ^(- (v/λ)^k · ( ( h_0/h)^(n·k)-1) $

Provo a mettere i calcoli esplicitamente:

la funzione di partenza è
$ f(v_0)= ( k/λ^k ) · v_0 ^ (k-1) · e^( -(v_0/λ)^k) $

Introducendo
$ v_0 = v · (h_0/h)^n$
diventa
$ f(v_0)= f(v) = ( k/λ^k ) · ( v · (h_0/h)^n )^ (k-1) · e^( -( (v · (h_0/h)^n)/λ)^k) $

che è pari a
$ f(v_0)= ( k/λ^k ) · v ^ (k-1) · (h_0/h)^(n·(k-1)) · e^(-((v/λ)^k · (h_0/h)^(n·k)))$
$ f(v_0)= ( k/λ^k ) · v ^ (k-1) · (h_0/h)^(n·(k-1)) · e^(-(v/λ)^k) · e^(-(v /λ)^k·((h_0/h)^(n·k)-1))$

Pertanto la formula del tipo $f(v_0) = g(v) · f(v)$
sarebbe

$ f(v_0)= ( k/λ^k ) · v ^(k-1) · e^-((v/λ)^k)· (h_0/h)^ (n ·(k-1)) · e^(-(v /λ)^k·((h_0/h)^(n·k)-1)) $
$ f(v_0)= f(v) · (h_0/h)^(n·(k-1)) · e^(-(v/λ)^k·((h_0/h)^(n·k)-1)) $

Ritornando alla formala del primo post

$ f(v) = f(v_0) / (B · C(v))$

con
$B = (h_0/h)^(n·(k-1)) $
$C(v) = e^(-((v/λ)^k·((h_0/h)^(n·k)-1)) $


In realtà l'unico passaggio con un minimo di difficoltà matematica è quello dell'esponenziale, dove ho che
$ e^(a·b) = e^a · e^(a·(b-1))$

Andrea

[ndrini]

Insomma, l'ideale sarebbe sapere come variano i parametri k e λ al passaggio da $v_0$ a $v$,
ma questo non so proprio come farlo...

Andrea

PS ora mi viene anche il dubbio che quella che ho chiamato $f(v)$, non sia la funzine che cerco, dato che è costruita a partire dei parametri k e λ di $f(v_0)$....

[ndrini]

Ringrazio moltissimo il dottor Giovanni Gualtieri del CNR-IBIMET
che mi ha indicato la soluzione.

RIcapitolo:
dato preso dall'atlante dei venti all'altezza z0
z0 = 80 //m

i parametri sono
lambda0 = 6.2725; // [m/s];
k0 = 1.722; //

aggiorno i valori dei parametri all'altezza della pala eolica
altezza variabile secondo l'istallazione
z = 20 m, conoscendo i dati della discribuzione di Weibull all'alezza z0

la regola di aggiornamento è data dalle seguenti 3 formule
"A law to predict the wind speed at a height (z), from the speed measured at a lower height (z0)"
Prendo l'esponente (chiamato alfa o n)
$ α = (0.37-0.0881*ln(λ_0)) / (1-0.0881*ln(z_0/10)) $

trovo quindi lambda λ alla nuova altezza:
$ λ = λ_0 *(z/z_0)^α$

e k, alla nuova altezza, $ k = k_0 · [1-0.088·ln(z_1/10)] / [1-0.088·ln(z/10)]$