Continuità delle probabilità

[Peano1]

Salve stavo vedendo un esercizio, il 3.6.7 del "A First Look at Rigorous Probability Theory" sulla continuità delle probabilità, in sostanza chiede di costruire una $ A_n $ a partire da

\(\displaystyle \Omega =\left\{ 1,2,3 \right \}, \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P}(i)=\frac{1}{3} \) $ i=1,2,3 $

per cui valga

\(\displaystyle \mathbb{P}(\liminf A_n)<\liminf \mathbb{P}(A_n)<\limsup\mathbb{P}( A_n)< \mathbb{P}(\limsup A_n)\)

... a parte le successioni che tendono a tutto omega o all'insieme vuoto (togliendo ogni volta un singoletto o aggiungendolo) non mi vengono altre idee, oltretutto per quelle non vale la disuguaglianza stretta.

[DajeForte]

Innanzitutto la successione di eventi non deve convergere (ovvero il liminf non deve essere uguale al limsup) altrimenti la probabilità di lim inf e lim sup sarebbero uguali e le disuguaglianze non sarebbero verificate. Hai chiara la definizione di lim inf e limsup per insiemi?

[Peano1]

"DajeForte":Innanzitutto la successione di eventi non deve convergere (ovvero il liminf non deve essere uguale al limsup) altrimenti la probabilità di lim inf e lim sup sarebbero uguali e le disuguaglianze non sarebbero verificate. Hai chiara la definizione di lim inf e limsup per insiemi?

sì il limsup è l'intersezione infinita di unioni infinite, viceversa il liming è unione infinita di intersezioni infinite...

in effetti devo cercare insiemi "oscillanti", un po come seno e coseno per le funzioni sui reali

[DajeForte]

Mhhh sni...dovresti chiarirti ancora un po' le idee. Il concetto di successione oscillante è giusto ma non vedo bene il nesso con seno e coseno.

Comunque, prendi $A_n={1}$ se n e pari e $A_n{2,3}$ se n è dispari.
Questa successione rispetta la richiesta. Analizza il perché cercando di comprendere le definizioni di liminf e limsup