Continuità a destra
Ciao a tutti.
Non riesco a capire perché sia necessario assumere la continuità a destra per le funzioni di ripartizione di distribuzioni continue unidimensionali. Voglio dire: perché quella a destra e non quella a sinistra? o perché quella solo a destra anziché quella sia a destra che a sinistra? oppure perché richiedere la continuità a destra anziché la continuità quasi dappertutto?
Grazie ciao!
Non riesco a capire perché sia necessario assumere la continuità a destra per le funzioni di ripartizione di distribuzioni continue unidimensionali. Voglio dire: perché quella a destra e non quella a sinistra? o perché quella solo a destra anziché quella sia a destra che a sinistra? oppure perché richiedere la continuità a destra anziché la continuità quasi dappertutto?
Grazie ciao!
Risposte
La continuità la richiedi solo a destra perché hai definito la funzione di distribuzione ($X$ è la v.a.) come
$F(x)=P(X<=x)=P_X(-\infty, x]$;
se avessi definito
$F(x)=P(x<=X)=P_X[x, +\infty)$
avresti avuto la continuità da sinistra.
Riguardo la domanda "perché solo la continuità da destra invece che la continuità q.o.?" la risposta è semplice:
perché la continuità q.o. è propria di una sottoclasse di v.a. alla quale moltissime v.a. interessanti non appartengono. Già una v.a. costante ha come funzione di ripartizione un gradino unitario, funzione evidentemente non continua. Se richiedessi la continuità q.o. per la funzione di ripartizione, dovresti escludere dalla tua teoria tutte le v.a. costanti. Ti converrebbe?
$F(x)=P(X<=x)=P_X(-\infty, x]$;
se avessi definito
$F(x)=P(x<=X)=P_X[x, +\infty)$
avresti avuto la continuità da sinistra.
Riguardo la domanda "perché solo la continuità da destra invece che la continuità q.o.?" la risposta è semplice:
perché la continuità q.o. è propria di una sottoclasse di v.a. alla quale moltissime v.a. interessanti non appartengono. Già una v.a. costante ha come funzione di ripartizione un gradino unitario, funzione evidentemente non continua. Se richiedessi la continuità q.o. per la funzione di ripartizione, dovresti escludere dalla tua teoria tutte le v.a. costanti. Ti converrebbe?
"dissonance":
Già una v.a. costante ha come funzione di ripartizione un gradino unitario, funzione evidentemente non continua. Se richiedessi la continuità q.o. per la funzione di ripartizione, dovresti escludere dalla tua teoria tutte le v.a. costanti. Ti converrebbe?
Con "variabile aleatoria costante" intendi una distribuzione uniforme su un intervallo? Scusa se te lo chiedo, è che non ho ben capito la tua osservazione. Per la distribuzione uniforme su intervallo la ripartizione a me sembra continua; è la funzione di densità forse che presenta l'aspetto "a gradino"; però, appunto, lei è discontinua in due punti soltanto, dunque è continua q.o.
Non ho capito in che senso chiedere la continuità q.o. mi porterebbe ad escludere le v.a. costanti..
Grazie
ciao
Hai ragione, la mia osservazione fallisce. Vedo di rimediare:
Intanto sulla distribuzione uniforme hai ragione, la funzione di ripartizione è continua q.o. e vale molto di più: si tratta di una distribuzione assolutamente continua.
Con v.a. costante intendo una v.a. che assume un valore (diciamo $0$) con probabilità $1$, e tutti gli altri valori con probabilità $0$. Per questa v.a. la distribuzione è una delta di Dirac $P_X(A)={(1, 0\inA), (0, 0\notin A):}$, e la funzione di ripartizione è un gradino unitario $F_X(x)={(0, x<0), (1, 1<=x):}$, che effettivamente è continua q.o. quindi il mio esempio non regge. Ti chiedo scusa.
Resta in piedi il discorso, però: ci sono "tante" v.a. per le quali la funzione di ripartizione non è continua q.o.: prendi una v.a. discreta con supporto $QQ$, ad esempio (=una v.a. $X$ tale che $P_X(QQ)=1$ e $P_X({x})>0$ per ogni $x\inQQ$). La funzione di ripartizione avrà una discontinuità in ogni numero razionale e pertanto non sarà continua q.o. .
Intanto sulla distribuzione uniforme hai ragione, la funzione di ripartizione è continua q.o. e vale molto di più: si tratta di una distribuzione assolutamente continua.
Con v.a. costante intendo una v.a. che assume un valore (diciamo $0$) con probabilità $1$, e tutti gli altri valori con probabilità $0$. Per questa v.a. la distribuzione è una delta di Dirac $P_X(A)={(1, 0\inA), (0, 0\notin A):}$, e la funzione di ripartizione è un gradino unitario $F_X(x)={(0, x<0), (1, 1<=x):}$, che effettivamente è continua q.o. quindi il mio esempio non regge. Ti chiedo scusa.
Resta in piedi il discorso, però: ci sono "tante" v.a. per le quali la funzione di ripartizione non è continua q.o.: prendi una v.a. discreta con supporto $QQ$, ad esempio (=una v.a. $X$ tale che $P_X(QQ)=1$ e $P_X({x})>0$ per ogni $x\inQQ$). La funzione di ripartizione avrà una discontinuità in ogni numero razionale e pertanto non sarà continua q.o. .
Ok molto bene adesso ci sono, grazie!
Io nel corso che sto seguendo di Probabilità 1 ho visto le distribuzioni gamma, beta e normali su $RR$ quindi direi che è per questo che non capivo il senso di chiedere quel tipo particolare di continuità: diciamo che è una cosa che il libro scrive per avere un approccio più generale, ma che poi non entra in campo nelle distribuzioni che presenta.
Ok grazie mille ciao!!
Io nel corso che sto seguendo di Probabilità 1 ho visto le distribuzioni gamma, beta e normali su $RR$ quindi direi che è per questo che non capivo il senso di chiedere quel tipo particolare di continuità: diciamo che è una cosa che il libro scrive per avere un approccio più generale, ma che poi non entra in campo nelle distribuzioni che presenta.
Ok grazie mille ciao!!
Mi viene un piccolo dubbio da porre a Dissonance;
(Inciso: alcuni autori definiscono la funzione di ripartizione come $P(X
la funzione di ripartizione della variabile che tu hai descritto sui razionali (che in un certo senso è una variabile aleatoria discreta "estrema") è continua a destra?
(Inciso: alcuni autori definiscono la funzione di ripartizione come $P(X
la funzione di ripartizione della variabile che tu hai descritto sui razionali (che in un certo senso è una variabile aleatoria discreta "estrema") è continua a destra?
@DajeForte: Direi di sì, come tutte le funzioni di distribuzione anche la $F_X$ del mio ultimo post è continua da destra. Sia infatti $x\inRR$ e $x_n\to x$, $x<...<=x_n<=x_{n-1}<=...<=x_1$ ($x_n$ converge decrescendo ad $x$). Allora
$lim_{n\to\infty} F_X(x_n)=lim_{n\toinfty}P_X(-\infty, x_n]=P_Xnn_{n\inNN}(-\infty, x_n]$ per il teorema di continuità di misura ($P_X$ è una misura di probabilità). Ed essendo $nn_{n\inNN}(-\infty, x_n]=(-\infty, x_n]$ segue la tesi.
Non ti convince questo ragionamento? Io sono un novellino della probabilità, quindi la probabilità che io sia in errore è alta.
______________
In realtà mi sto accorgendo di avere impostato tutto il discorso su un piano sbagliato. Infatti anche l'ultima $F_X$ è continua q.o., avendo come insieme delle discontinuità $QQ$ che ha misura nulla secondo Lebesgue. E, come $F_X$, anche ogni funzione di distribuzione di una v.a. discreta sarà continua q.o., perché l'insieme delle proprie discontinuità è un insieme finito o al più numerabilmente infinito.
Il punto invece sta nel richiedere la continuità da destra perché con questo assioma (unito agli altri due, sui quali però non credo ci sia nulla da obiettare, sono perfettamente naturali) si realizza la corrispondenza biunivoca
(funzioni di distribuzione) $-=$ (misure di probabilità su $RR$ con la sigma-algebra di Borel).
Questa è la vera risposta alla domanda: "perché la continuità da destra"? Ora ci si può chiedere, con LLLorenzzz: andava bene anche la continuità q.o.? Io sono sicuro che la risposta sia no, ma mostrare un controesempio è molto più difficile di quanto pensassi, perché tutte le v.a. "facili" (discrete e assolutamente continue) hanno la funzione di distribuzione q.o. continua.
______________
C'è anche da dire che, quando si dice di una funzione che è "continua quasi ovunque", spesso si intende una condizione molto più restrittiva di quella di questo post: si intende che esiste una funzione continua che coincide quasi ovunque con la funzione data. In questo senso, il gradino unitario non è continuo quasi ovunque.
$lim_{n\to\infty} F_X(x_n)=lim_{n\toinfty}P_X(-\infty, x_n]=P_Xnn_{n\inNN}(-\infty, x_n]$ per il teorema di continuità di misura ($P_X$ è una misura di probabilità). Ed essendo $nn_{n\inNN}(-\infty, x_n]=(-\infty, x_n]$ segue la tesi.
Non ti convince questo ragionamento? Io sono un novellino della probabilità, quindi la probabilità che io sia in errore è alta.
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In realtà mi sto accorgendo di avere impostato tutto il discorso su un piano sbagliato. Infatti anche l'ultima $F_X$ è continua q.o., avendo come insieme delle discontinuità $QQ$ che ha misura nulla secondo Lebesgue. E, come $F_X$, anche ogni funzione di distribuzione di una v.a. discreta sarà continua q.o., perché l'insieme delle proprie discontinuità è un insieme finito o al più numerabilmente infinito.
Il punto invece sta nel richiedere la continuità da destra perché con questo assioma (unito agli altri due, sui quali però non credo ci sia nulla da obiettare, sono perfettamente naturali) si realizza la corrispondenza biunivoca
(funzioni di distribuzione) $-=$ (misure di probabilità su $RR$ con la sigma-algebra di Borel).
Questa è la vera risposta alla domanda: "perché la continuità da destra"? Ora ci si può chiedere, con LLLorenzzz: andava bene anche la continuità q.o.? Io sono sicuro che la risposta sia no, ma mostrare un controesempio è molto più difficile di quanto pensassi, perché tutte le v.a. "facili" (discrete e assolutamente continue) hanno la funzione di distribuzione q.o. continua.
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C'è anche da dire che, quando si dice di una funzione che è "continua quasi ovunque", spesso si intende una condizione molto più restrittiva di quella di questo post: si intende che esiste una funzione continua che coincide quasi ovunque con la funzione data. In questo senso, il gradino unitario non è continuo quasi ovunque.
Caro dissonance,
quello che tu scrivi mi sembra sensato, anche in relazione al concetto di continuità q.o.
Il dubbio che rimane (e che in un certo senso quello che mi hai fatto vedere mi ingrandisce) è:
io ho considerato la continuità con il concetto di limite che ho interpretato così:
consideriamo $x_0 in RR$
$AA \epsilon >0 \quad EE \delta >0 : \quad AA x>x_0 \quad d(x,x_0)<\delta rArr d(F(x_0),F(x))< \epsilon$.
Ora a me veniva da dire che scelto $AAx>x_0$ esiste sempre un razionale ed un irrazionale che sono maggiori di $x_0$ e minori di $x$.
Però qualcosa forse non mi convince,
mi puoi dare qualche chiarimento?
Grazie
quello che tu scrivi mi sembra sensato, anche in relazione al concetto di continuità q.o.
Il dubbio che rimane (e che in un certo senso quello che mi hai fatto vedere mi ingrandisce) è:
io ho considerato la continuità con il concetto di limite che ho interpretato così:
consideriamo $x_0 in RR$
$AA \epsilon >0 \quad EE \delta >0 : \quad AA x>x_0 \quad d(x,x_0)<\delta rArr d(F(x_0),F(x))< \epsilon$.
Ora a me veniva da dire che scelto $AAx>x_0$ esiste sempre un razionale ed un irrazionale che sono maggiori di $x_0$ e minori di $x$.
Però qualcosa forse non mi convince,
mi puoi dare qualche chiarimento?
Grazie
In sostanza vorresti dimostrare la continuità da destra di una f.d.d. (funzione di distribuzione) usando un argomento [tex]\epsilon-\delta[/tex]. Mi pare una cosa piuttosto difficile da fare, però. Questo perché dalla teoria della misura ti vengono teoremi di continuità "di cardinalità numerabile" e precisamente:
Teorema (di continuità della misura - versione per poveri) (*)
Sia [tex](X, \mathfrak{X}, \mu)[/tex] uno spazio di misura.
i) Per ogni successione [tex]\{A_1, A_2, ...\}\subset \mathfrak{X},\ A_1 \subset A_2 \subset \ldots[/tex] (successione crescente di insiemi misurabili) risulta che:
[tex]$\mu (\cup_{n=1}^\infty A_n)=\lim_{n\to \infty}\mu(A_n)[/tex];
ii) Se [tex]\mu(X)<\infty[/tex] (è il caso di tutte le misure di probabilità) vale lo stesso risultato per intersezioni decrescenti:
[tex]$\{A_1, A_2, ...\}\subset \mathfrak{X},\ A_1 \supset A_2 \supset \ldots \Rightarrow \mu(\cap_{n=1}^\infty A_n) = \lim_{n\to \infty}\mu(A_n)[/tex].
E' proprio da questo teorema, precisamente dal punto ii), che deriva il risultato secondo cui ogni f.d.d. è continua da destra: siano infatti [tex]X[/tex] una v.a. 1-dimensionale e [tex]P_X[/tex] la relativa distribuzione di probabilità; in particolare [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B}, P_X)[/tex] (**) è uno spazio di misura nelle ipotesi del punto ii.
Risulta quindi che per ogni intersezione decrescente di intervalli di forma [tex](-\infty, a_n][/tex], la misura dell'intersezione è il limite delle misure:
[tex]$\forall (a_n)_{n\in \mathbb{N}}, a_n \downarrow a\colon P_X \left( \cap_{n=1}^\infty (-\infty, a_n] \right)=\lim_{n\to\infty}P_X(-\infty, a_n][/tex];
ed essendo [tex]\cap_{n=1}^\infty (-\infty, a_n]=(-\infty, a][/tex], abbiamo appena dimostrato che
[tex]$\lim_{n\to\infty}F_X(a_n)=F_X(a)[/tex] per ogni successione [tex]a_n[/tex] tale che [tex]a_n \downarrow a[/tex].
Questa è la formulazione in termini di successioni della continuità da destra di [tex]F_X[/tex]. Si dimostra poi, in astratto, che essa è equivalente alla continuità in termini di [tex]\epsilon - \delta[/tex] (ne abbiamo parlato anche su questo forum, per esempio qui - attenzione però che si scende in un dibattito sull'uso implicito dell'assioma della scelta e in un sacco di sofismi tipici dei matematici ).
Queste sono cose che sicuramente sai già però io le ripeto lo stesso, per la massima chiarezza.
Venendo alla nostra v.a. discreta "estrema" ([tex]X[/tex] v.a. 1-dim. tale che [tex]P(X\in\mathbb{Q})=1,\ P_X\{x\}>0\,\forall x \in \mathbb{Q}[/tex]), in questo caso la f.d.d. è una funzione veramente parecchio strampalata. La possiamo pensare come una versione estrema di una funzione a gradini, come ad esempio la prima di questa illustrazione pescata su Wikipedia:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... ration.png
dove però c'è un numero infinito di salti in ogni intervallo, per quanto piccolo, di numeri reali.
_________
(*) La versione per ricchi contiene anche delle implicazioni inverse: se [tex]\mu[/tex] verifica certe ipotesi allora è una misura. Non serve a nulla in questo frangente.
(**) [tex]\mathcal{B}[/tex] sta ad indicare la [tex]\sigma[/tex]-algebra di Borel.
Teorema (di continuità della misura - versione per poveri) (*)
Sia [tex](X, \mathfrak{X}, \mu)[/tex] uno spazio di misura.
i) Per ogni successione [tex]\{A_1, A_2, ...\}\subset \mathfrak{X},\ A_1 \subset A_2 \subset \ldots[/tex] (successione crescente di insiemi misurabili) risulta che:
[tex]$\mu (\cup_{n=1}^\infty A_n)=\lim_{n\to \infty}\mu(A_n)[/tex];
ii) Se [tex]\mu(X)<\infty[/tex] (è il caso di tutte le misure di probabilità) vale lo stesso risultato per intersezioni decrescenti:
[tex]$\{A_1, A_2, ...\}\subset \mathfrak{X},\ A_1 \supset A_2 \supset \ldots \Rightarrow \mu(\cap_{n=1}^\infty A_n) = \lim_{n\to \infty}\mu(A_n)[/tex].
E' proprio da questo teorema, precisamente dal punto ii), che deriva il risultato secondo cui ogni f.d.d. è continua da destra: siano infatti [tex]X[/tex] una v.a. 1-dimensionale e [tex]P_X[/tex] la relativa distribuzione di probabilità; in particolare [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B}, P_X)[/tex] (**) è uno spazio di misura nelle ipotesi del punto ii.
Risulta quindi che per ogni intersezione decrescente di intervalli di forma [tex](-\infty, a_n][/tex], la misura dell'intersezione è il limite delle misure:
[tex]$\forall (a_n)_{n\in \mathbb{N}}, a_n \downarrow a\colon P_X \left( \cap_{n=1}^\infty (-\infty, a_n] \right)=\lim_{n\to\infty}P_X(-\infty, a_n][/tex];
ed essendo [tex]\cap_{n=1}^\infty (-\infty, a_n]=(-\infty, a][/tex], abbiamo appena dimostrato che
[tex]$\lim_{n\to\infty}F_X(a_n)=F_X(a)[/tex] per ogni successione [tex]a_n[/tex] tale che [tex]a_n \downarrow a[/tex].
Questa è la formulazione in termini di successioni della continuità da destra di [tex]F_X[/tex]. Si dimostra poi, in astratto, che essa è equivalente alla continuità in termini di [tex]\epsilon - \delta[/tex] (ne abbiamo parlato anche su questo forum, per esempio qui - attenzione però che si scende in un dibattito sull'uso implicito dell'assioma della scelta e in un sacco di sofismi tipici dei matematici
).Queste sono cose che sicuramente sai già però io le ripeto lo stesso, per la massima chiarezza.
Venendo alla nostra v.a. discreta "estrema" ([tex]X[/tex] v.a. 1-dim. tale che [tex]P(X\in\mathbb{Q})=1,\ P_X\{x\}>0\,\forall x \in \mathbb{Q}[/tex]), in questo caso la f.d.d. è una funzione veramente parecchio strampalata. La possiamo pensare come una versione estrema di una funzione a gradini, come ad esempio la prima di questa illustrazione pescata su Wikipedia:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... ration.png
dove però c'è un numero infinito di salti in ogni intervallo, per quanto piccolo, di numeri reali.
_________
(*) La versione per ricchi contiene anche delle implicazioni inverse: se [tex]\mu[/tex] verifica certe ipotesi allora è una misura. Non serve a nulla in questo frangente.
(**) [tex]\mathcal{B}[/tex] sta ad indicare la [tex]\sigma[/tex]-algebra di Borel.
Caro dissonance,
innanzitutto mi complimento per la tua preparazione che sicuramente è di granlunga meglio della mia.
Mi chiedevo soltanto come (assumendo la f.d.d. continua a destra/sinistra (aspetto che io non discutevo e non discuto))
si poteva leggere quell'altra espressione (visto che deve essere vera che la f.d.d. è continua).
A parte questo ti rinnovo i complimenti (anche se poi quello che hai scritto sarà una cosa abbastanza comune per i matematici (e magari anche per i probabilisti visto cosa è la probabilità)).
Ti chiederei in ultimo gentilmente di qualche delucidazione sugli integrali di Lebesgue-Stieltjes con un post
che avevo scritto su analisi "Chiarimenti sugli integrali" (quando hai tempo insomma).
Saluti
innanzitutto mi complimento per la tua preparazione che sicuramente è di granlunga meglio della mia.
Mi chiedevo soltanto come (assumendo la f.d.d. continua a destra/sinistra (aspetto che io non discutevo e non discuto))
si poteva leggere quell'altra espressione (visto che deve essere vera che la f.d.d. è continua).
A parte questo ti rinnovo i complimenti (anche se poi quello che hai scritto sarà una cosa abbastanza comune per i matematici (e magari anche per i probabilisti visto cosa è la probabilità)).
Ti chiederei in ultimo gentilmente di qualche delucidazione sugli integrali di Lebesgue-Stieltjes con un post
che avevo scritto su analisi "Chiarimenti sugli integrali" (quando hai tempo insomma).
Saluti
Ti ringrazio per i complimenti ma Non se parliamo di probabilità, almeno: infatti il post precedente riguarda più che altro la teoria della misura e tutti quei tecnicismi che c'entrano assai poco con la padronanza della probabilità.
Detto questo, per l'integrale di L-S, la chiave del discorso sta proprio nelle funzioni di distribuzione. Infatti è possibile dimostrare questo teorema:
Ad ogni FdD corrisponde una ed una sola misura di probabilità su [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/tex].
La dimostrazione è piuttosto complicata come purtroppo il 90% della teoria della misura; l'idea è:
se [tex]\mu[/tex] è una misura di probabilità su [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/tex], la FdD [tex]F_\mu[/tex] verifica la proprietà
[tex]\mu(a, b]=F(b)-F(a),\quad \forall a
ovvero, conoscendo la FdD, puoi conoscere la misura di tutti gli intervalli della forma [tex](a, b][/tex]. Ora succede che in teoria della misura esiste una classe di teoremi, detti teoremi di estensione, i quali chiariscono sotto quali ipotesi due misure sono uguali se coincidono su particolari sottoinsiemi misurabili. Uno di questi teoremi dice:
due misure [tex]\mu_1, \mu_2[/tex] su [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/tex] tali che [tex]\mu_1 (a, b]=\mu_2 (a, b][/tex] per ogni [tex]a
Quindi due misure di probabilità con la stessa FdD sono uguali. Si verifica poi che, data una FdD [tex]F[/tex], esiste una (e, per quanto detto prima, una sola) misura di probabilità [tex]\mu[/tex] tale che
[tex]$\mu(a, b]=F(b)-F(a)\quad \forall a
e resta quindi provata la corrispondenza biunivoca tra FdD e misure di probabilità. Pertanto, data una FdD [tex]F[/tex], potremo parlare di Integrale di Lebesgue - Stieltjes relativo ad [tex]F[/tex], e scrivere
[tex]$\int_{\mathbb{R}}f\,dF[/tex]
riferendoci all'integrale di Lebesgue relativo all'unica misura di probabilità [tex]\mu[/tex] associata ad [tex]F[/tex]:
[tex]$\int_{\mathbb{R}}f\,dF=\int_{\mathbb{R}}f\,d\mu[/tex].
P.S.: Tutto quanto è SE&O, non è un argomento che conosco molto bene.
la tua preparazione che sicuramente è di granlunga meglio della mianon è assolutamente vero!
Non se parliamo di probabilità, almeno: infatti il post precedente riguarda più che altro la teoria della misura e tutti quei tecnicismi che c'entrano assai poco con la padronanza della probabilità.Detto questo, per l'integrale di L-S, la chiave del discorso sta proprio nelle funzioni di distribuzione. Infatti è possibile dimostrare questo teorema:
Ad ogni FdD corrisponde una ed una sola misura di probabilità su [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/tex].
La dimostrazione è piuttosto complicata come purtroppo il 90% della teoria della misura; l'idea è:
se [tex]\mu[/tex] è una misura di probabilità su [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/tex], la FdD [tex]F_\mu[/tex] verifica la proprietà
[tex]\mu(a, b]=F(b)-F(a),\quad \forall a
ovvero, conoscendo la FdD, puoi conoscere la misura di tutti gli intervalli della forma [tex](a, b][/tex]. Ora succede che in teoria della misura esiste una classe di teoremi, detti teoremi di estensione, i quali chiariscono sotto quali ipotesi due misure sono uguali se coincidono su particolari sottoinsiemi misurabili. Uno di questi teoremi dice:
due misure [tex]\mu_1, \mu_2[/tex] su [tex](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/tex] tali che [tex]\mu_1 (a, b]=\mu_2 (a, b][/tex] per ogni [tex]a
Quindi due misure di probabilità con la stessa FdD sono uguali. Si verifica poi che, data una FdD [tex]F[/tex], esiste una (e, per quanto detto prima, una sola) misura di probabilità [tex]\mu[/tex] tale che
[tex]$\mu(a, b]=F(b)-F(a)\quad \forall a
e resta quindi provata la corrispondenza biunivoca tra FdD e misure di probabilità. Pertanto, data una FdD [tex]F[/tex], potremo parlare di Integrale di Lebesgue - Stieltjes relativo ad [tex]F[/tex], e scrivere
[tex]$\int_{\mathbb{R}}f\,dF[/tex]
riferendoci all'integrale di Lebesgue relativo all'unica misura di probabilità [tex]\mu[/tex] associata ad [tex]F[/tex]:
[tex]$\int_{\mathbb{R}}f\,dF=\int_{\mathbb{R}}f\,d\mu[/tex].
P.S.: Tutto quanto è SE&O, non è un argomento che conosco molto bene.
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