Consistenza di un SMV
Ciao a tutti, vi propongo questo esercizio in quanto non riesco a svolgerlo. La teoria alla base credo ci sia, trovo difficoltà nell'applicazione vera e propria:
Sia $ Y $ v. aleatoria con realizzazioni i.i.d. $ yi $ con distribuzione continua:
$ f(y;vartheta) = vartheta (1-y)^(vartheta-1), vartheta>0, y in (0,1) $
SI calcoli l'SMV e si dica se è consistente.
Lo stimatore mi risulta:
$ hat(vartheta) = (-n)/(sum_(i = 1)^(n) log(1-yi) $
Per il calcolo dello stimatore non ho quesiti, è la verifica della consistenza il problema.
Qual'è la tecnica operativa generale? Ho provato ad applicare la legge (debole) dei grandi numeri, capendone l'interpretazione ma senza risultati pratici.
Grazie a chi risponderà.
Sia $ Y $ v. aleatoria con realizzazioni i.i.d. $ yi $ con distribuzione continua:
$ f(y;vartheta) = vartheta (1-y)^(vartheta-1), vartheta>0, y in (0,1) $
SI calcoli l'SMV e si dica se è consistente.
Lo stimatore mi risulta:
$ hat(vartheta) = (-n)/(sum_(i = 1)^(n) log(1-yi) $
Per il calcolo dello stimatore non ho quesiti, è la verifica della consistenza il problema.
Qual'è la tecnica operativa generale? Ho provato ad applicare la legge (debole) dei grandi numeri, capendone l'interpretazione ma senza risultati pratici.
Grazie a chi risponderà.
Risposte
sì dunque....innanzitutto occorre specificare stimatore di massima verosimiglianza per cosa; per $theta$ o per $g(theta)$.
Posto che il quesito sia trovare $hat(theta)$, per la consistenza, se hai già provato ad utilizzare la legge debole dei grandi numeri senza riuscire a risolvere, esiste una condizione sufficiente; devono valere entrambe le seguenti:
$lim_(n->oo)E(hat(theta))=theta$ $rarr$ non distorsione al limte
$lim_(n->oo)V(hat(theta))=0$ $rarr$ varianza nulla, al limite
A questo punto non ti resta che calcolare media e varianza dello stimatore; per fare ciò ti consiglio di iniziare a calcolare la distribuzione di $W=-log(1-Y)$
Per questa via, con qualche conto [nota]oppure utilizzando i risultati noti della Gamma inversa[/nota], trovi che
$E(hat(theta))=n/(n-1)theta$
$V(hat(theta))=(ntheta)^2/((n-1)^2(n-2))$
quindi sì, lo stimatore è consistente[nota]oppure potresti usare le proprietà degli stimatori di MV fra cui ce n'è una che dice appunto che tali stimatori sono consistenti[/nota]
ti ho suggerito un po' troppo
Posto che il quesito sia trovare $hat(theta)$, per la consistenza, se hai già provato ad utilizzare la legge debole dei grandi numeri senza riuscire a risolvere, esiste una condizione sufficiente; devono valere entrambe le seguenti:
$lim_(n->oo)E(hat(theta))=theta$ $rarr$ non distorsione al limte
$lim_(n->oo)V(hat(theta))=0$ $rarr$ varianza nulla, al limite
A questo punto non ti resta che calcolare media e varianza dello stimatore; per fare ciò ti consiglio di iniziare a calcolare la distribuzione di $W=-log(1-Y)$
Per questa via, con qualche conto [nota]oppure utilizzando i risultati noti della Gamma inversa[/nota], trovi che
$E(hat(theta))=n/(n-1)theta$
$V(hat(theta))=(ntheta)^2/((n-1)^2(n-2))$
quindi sì, lo stimatore è consistente[nota]oppure potresti usare le proprietà degli stimatori di MV fra cui ce n'è una che dice appunto che tali stimatori sono consistenti[/nota]
ti ho suggerito un po' troppo
Grazie Tommik per la velocissima risposta. Ho capito il procedimento, ho bisogno di capire però se ciò che sto facendo per calcolare la distribuzione di: $ X = -log(1-Y) $ è corretta. Allora:
$ X = -log(1-Y)rArr e^X = 1/(1-Y) rArr Y= 1-1/e^(X) $
Quindi:
$ P(X
$ -[(1-e^(-x)-1)^(vartheta)-(-1)^(vartheta)]=(-1)^(vartheta)-(e^(-xvartheta)) $ e derivando rispetto a x ottengo:
$ ((partial)/(partial x))[-(e^(-xvartheta))]=-[e^(-xvartheta)(-vartheta)]= vartheta e^(-varthetax) $, cioè la distribuzione di una esponenziale.
Sostituendo il risultato all'inizio e con procedimenti analoghi mi risulta che la distribuzione dello stimatore è l'inverso della gamma moltiplicato n:
$ hat(vartheta)~Inv. Ga(alpha =n; beta = vartheta) $
Quindi usando la formula della media: $ E[hat(vartheta)]= (nvartheta)/(n-1) $
Infine: $ lim_(n -> +oo ) (nvartheta)/(n-1) = (nvartheta)/(n(1-1/n)) = vartheta $
Analogamente per la Varianza. Io SPERO che sia giusto perchè altrimenti...
Ma specie l'ultima parte del quesito, cioe quando ci si ricava la distribuzione di $ X $ come si formalizza in modo rigoroso che la somma di $ X $ è una variabile Gamma e scrivere che la sua distribuzione è l'inverso di una Gamma moltiplicato n?
Grazie ancora Tommik
$ X = -log(1-Y)rArr e^X = 1/(1-Y) rArr Y= 1-1/e^(X) $
Quindi:
$ P(X
$ -[(1-e^(-x)-1)^(vartheta)-(-1)^(vartheta)]=(-1)^(vartheta)-(e^(-xvartheta)) $ e derivando rispetto a x ottengo:
$ ((partial)/(partial x))[-(e^(-xvartheta))]=-[e^(-xvartheta)(-vartheta)]= vartheta e^(-varthetax) $, cioè la distribuzione di una esponenziale.
Sostituendo il risultato all'inizio e con procedimenti analoghi mi risulta che la distribuzione dello stimatore è l'inverso della gamma moltiplicato n:
$ hat(vartheta)~Inv. Ga(alpha =n; beta = vartheta) $
Quindi usando la formula della media: $ E[hat(vartheta)]= (nvartheta)/(n-1) $
Infine: $ lim_(n -> +oo ) (nvartheta)/(n-1) = (nvartheta)/(n(1-1/n)) = vartheta $
Analogamente per la Varianza. Io SPERO che sia giusto perchè altrimenti...
Ma specie l'ultima parte del quesito, cioe quando ci si ricava la distribuzione di $ X $ come si formalizza in modo rigoroso che la somma di $ X $ è una variabile Gamma e scrivere che la sua distribuzione è l'inverso di una Gamma moltiplicato n?
Grazie ancora Tommik
Calcoli un po' eccessivi ( e con un errore di segno che si annulla derivando) ma risultato ok.
EDIT:
Per calcolare la distribuzione di $Y=-log(1-X)$ basta invertire la funzione ed osservare che
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)|=theta(e^(-y))^(theta-1)e^(-y)=thetae^(-thetay)$
Una $exp(theta)=Gamma(1;theta)$ e la somma di n $Gamma(1;theta)$ indipendenti si distribuisce come una $Gamma(n;theta)$. Per dimostrarlo basta usare la funzione generatrice dei momenti
Per calcolare media e varianza dello stimatore, senza passare per la Gamma inversa basta usare la definizione di media e varianza con una distribuzione Gamma
$E[n/Z]=n int_(0)^(oo)1/z theta^n/(Gamma(n))z^(n-1)e^(-ztheta)dz=n/(n-1)theta int_(0)^(oo)theta^(n-1)/(Gamma(n-1))z^((n-1)-1)e^(-ztheta)dz=n/(n-1)theta$
dato che l'integrale è stato ricondotto al nucleo di una distribuzione gamma....
stessa cosa per la varianza: calcoli il momento secondo ecc ecc
Se invece vuoi passare per la gamma inversa dimostrando che, se $X$ si distribuisce come una Gamma allora $Y=1/X$ si distribuisce come una Gamma inversa, devi fare la stessa trasformazione di variabile come nel primo punto e poi utilizzare i risultati noti.... è una scelta equivalente
Comunque bravo... Non era facilissimo
EDIT:
Per calcolare la distribuzione di $Y=-log(1-X)$ basta invertire la funzione ed osservare che
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)|=theta(e^(-y))^(theta-1)e^(-y)=thetae^(-thetay)$
Una $exp(theta)=Gamma(1;theta)$ e la somma di n $Gamma(1;theta)$ indipendenti si distribuisce come una $Gamma(n;theta)$. Per dimostrarlo basta usare la funzione generatrice dei momenti
Per calcolare media e varianza dello stimatore, senza passare per la Gamma inversa basta usare la definizione di media e varianza con una distribuzione Gamma
$E[n/Z]=n int_(0)^(oo)1/z theta^n/(Gamma(n))z^(n-1)e^(-ztheta)dz=n/(n-1)theta int_(0)^(oo)theta^(n-1)/(Gamma(n-1))z^((n-1)-1)e^(-ztheta)dz=n/(n-1)theta$
dato che l'integrale è stato ricondotto al nucleo di una distribuzione gamma....
stessa cosa per la varianza: calcoli il momento secondo ecc ecc
Se invece vuoi passare per la gamma inversa dimostrando che, se $X$ si distribuisce come una Gamma allora $Y=1/X$ si distribuisce come una Gamma inversa, devi fare la stessa trasformazione di variabile come nel primo punto e poi utilizzare i risultati noti.... è una scelta equivalente
Comunque bravo... Non era facilissimo
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