Consigli su come risolvere questi due problemi
Salve, a breve avrò l'esame di teria delle decisioni e vorrei che mi daste qualche aiutaste a risolvere questi due problemi:
1) Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ e sia Y = min(X, m),
dove m > 0 è un numero reale. Determinare la funzione di ripartizione di Y e dire se Y
ammette una densità continua.
2) Si misura una certa grandezza fisica µ con uno strumento che induce un errore
sperimentale che si può rappresentare con una variabile aleatoria di media nulla e varianza
unitaria. Si suppone che gli errori di misura relativi a misurazioni diverse siano statisti-
camente indipendenti. Si effettuano n misurazioni e si stima µ con la mesia empirica
¯X n .
• Qual’è la probabilità di commettere un errore superiore ad 1/100 con 400 misurazioni?
• Qual’è il più piccolo valore di n che permette di stimare µ a meno di 1/100 con
probabilità del 99%?
1) Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ e sia Y = min(X, m),
dove m > 0 è un numero reale. Determinare la funzione di ripartizione di Y e dire se Y
ammette una densità continua.
2) Si misura una certa grandezza fisica µ con uno strumento che induce un errore
sperimentale che si può rappresentare con una variabile aleatoria di media nulla e varianza
unitaria. Si suppone che gli errori di misura relativi a misurazioni diverse siano statisti-
camente indipendenti. Si effettuano n misurazioni e si stima µ con la mesia empirica
¯X n .
• Qual’è la probabilità di commettere un errore superiore ad 1/100 con 400 misurazioni?
• Qual’è il più piccolo valore di n che permette di stimare µ a meno di 1/100 con
probabilità del 99%?
Risposte
hai provato a ragionarci sopra?
dove ti blocchi?
descrivi un pò i tentativi che hai fatto
dove ti blocchi?
descrivi un pò i tentativi che hai fatto
Il primo esercizio so come si risolve però sempre con due variabili aletaorie e non con una v.a. e un numero reale.
Per il secondo esercizio invece, nel primo punto ho usato l'approssimazione normale e dovrebbe andare bene, mentre nel secondo punto non saprei proprio come procedere. Immagino che bisogni sempre utilizzare l'approssimazione normale però non so in che modo.
Per il secondo esercizio invece, nel primo punto ho usato l'approssimazione normale e dovrebbe andare bene, mentre nel secondo punto non saprei proprio come procedere. Immagino che bisogni sempre utilizzare l'approssimazione normale però non so in che modo.
Per il primo esercizio devi considerare due casi:
- $m>X$ , e allora $Y=X$ , quindi la funzione di ripartizione di $Y$ coincide con quella di $X$
- $m<=X$, e quindi $Y=m$
ovviamente devi verificare che Y abbia densità, cioè $\int_{-\infty}^{+\infty} f(y)dy=1$
- $m>X$ , e allora $Y=X$ , quindi la funzione di ripartizione di $Y$ coincide con quella di $X$
- $m<=X$, e quindi $Y=m$
ovviamente devi verificare che Y abbia densità, cioè $\int_{-\infty}^{+\infty} f(y)dy=1$
Quindi nel primo caso la funzione di ripartizione è la funzione esponenziale e nel secondo la funzione di ripartizione è il semplice numero reale M?
Attento, ricorda che $F_x(X)=P(X<=x)$ dove $F_x(X)$ è la funzione di ripartizione di una generica v.a. $X$
Mentre peril secondo esercizio sai darmi qualche dritta?
si può risolvere tramite l'approssimzione normale
basta usare la tabella della distribuzione normale, cercando il valore a cui corrisponde la probabilità $0,99$
e da lì ti ricavi $n$
basta usare la tabella della distribuzione normale, cercando il valore a cui corrisponde la probabilità $0,99$
e da lì ti ricavi $n$
ok grazie ho provato a farlo fa mi viene un n prossimo allo 0. Mi viene un risultato del tipo 0.000001. Può essere?
no è impossibile come risultato, $n$ deve essere un numero intero (e positivo ovviamente).
Dato che $n$ rappresenta il numero di misurazioni
Dato che $n$ rappresenta il numero di misurazioni
Ciao guarda il primo punto l'ho fatto cosi:
$ P(X1+....+X400 >= 1/100) = 1-phi((1/100-400*0)/(sqrt(400*1))) = 1-phi(0.0005) = 0.5
Dimmi se è giusto.
$ P(X1+....+X400 >= 1/100) = 1-phi((1/100-400*0)/(sqrt(400*1))) = 1-phi(0.0005) = 0.5
Dimmi se è giusto.
si va bene
Mi potresti far vedere come si risolve il punto due? non riesco a farlo.
devi porre $\Phi((1/100-n\mu)/(\sigma*sqrt(n)))=0,99$
poi devi trovare - dalla tabella della distribuzione normale - il valore dell' argomento di $\Phi$ che
ti permette di ottenere quella probabilità.
Se chiamo $k$ questo valore, allora $(1/100-n\mu)/(\sigma*sqrt(n))=k$, da cui ricavi $n$
poi devi trovare - dalla tabella della distribuzione normale - il valore dell' argomento di $\Phi$ che
ti permette di ottenere quella probabilità.
Se chiamo $k$ questo valore, allora $(1/100-n\mu)/(\sigma*sqrt(n))=k$, da cui ricavi $n$
il valore $k$ a cui corrisponde $0.99$ è $2.33$. Dopo di che ribaltando la formula viene fuori che (essendo varianza unitaria e media nulla), $ n=(0.01/2.33)^2 $ il cui risultato è $0,000018$. Mi pare un po strano che $ n $ è un valore uguale a $ 0 $
si è strano, può essere che la traccia è erratta
è sbagliata la formula usata. Si deve usare un'altra formula dell'approssimazione normale.
$P[|Xn-mu|>alpha] = 2*phi(-alpha/mu*sqrt(n))$
$P[|Xn-mu|>alpha] = 2*phi(-alpha/mu*sqrt(n))$
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