Comprendere la convergenza q.c. e il sup
Affrontando la dimostrazione di questo esercizio:
"Sia $X_n \rightarrow X$ q.c., sia $Y =$ sup $X_n$: provare che $Y<+\infty$ q.c."
mi sono ritrovato la soluzione seguente:
$|X_n - X| \rightarrow 0$ q.c. $\iff$ sup $|X_n - X| \rightarrow 0 \iff$ sup $X_n \rightarrow X \iff Y < \infty$ q.c.
E non capisco perchè funziona, sopratutto il secondo $\iff$... mi sono costruito questo controesempio:
Sia $X_n=0$ tranne in $n$, dove vale $X_n(n)=1$ e costruisco questa successione di v.a. reali $(X_n)$. Allora io penso che $X_n \rightarrow 0$ ma sup$|X_n - 0| =$ sup $|X_n| = 1$.
Prendendo per buona la soluzione trovata, dove sbaglio nel mio controesempio?
"Sia $X_n \rightarrow X$ q.c., sia $Y =$ sup $X_n$: provare che $Y<+\infty$ q.c."
mi sono ritrovato la soluzione seguente:
$|X_n - X| \rightarrow 0$ q.c. $\iff$ sup $|X_n - X| \rightarrow 0 \iff$ sup $X_n \rightarrow X \iff Y < \infty$ q.c.
E non capisco perchè funziona, sopratutto il secondo $\iff$... mi sono costruito questo controesempio:
Sia $X_n=0$ tranne in $n$, dove vale $X_n(n)=1$ e costruisco questa successione di v.a. reali $(X_n)$. Allora io penso che $X_n \rightarrow 0$ ma sup$|X_n - 0| =$ sup $|X_n| = 1$.
Prendendo per buona la soluzione trovata, dove sbaglio nel mio controesempio?
Risposte
Ma, io non ci ho capito molto.
Ad esempio non capisco su cosa sono fatti quei sup. Su n o sulla variabile delle funzioni.
Ti consiglio di rifare la dimostrazione. È immediata. Parti dalla definizione di convergenza quasi certa.
Ad esempio non capisco su cosa sono fatti quei sup. Su n o sulla variabile delle funzioni.
Ti consiglio di rifare la dimostrazione. È immediata. Parti dalla definizione di convergenza quasi certa.
Riprovo la dimostrazione. Ho due definizioni equivalenti di convergenza quasi certa:
1) $X_n \rightarrow X$ q.c. se per quasi ogni $w$ $X_n(w)$ tende a $X(w)$ (quindi convergenza puntuale fuori da un insieme trascurabile)
2) $P(lim_{n \to \infty}X_n=X)=1$.
Allora prendendo la 1), posso dire che c'è convergenza puntuale a $X$ q.o. ma non riesco a proseguire... mi verrebbe da dire che devo dimostrare che le $X_n$ sono tutte limitate. Ma posso dirlo visto che è limitata $X$? Cioè... in generale vale: "X v.a. reale è limitata"?
1) $X_n \rightarrow X$ q.c. se per quasi ogni $w$ $X_n(w)$ tende a $X(w)$ (quindi convergenza puntuale fuori da un insieme trascurabile)
2) $P(lim_{n \to \infty}X_n=X)=1$.
Allora prendendo la 1), posso dire che c'è convergenza puntuale a $X$ q.o. ma non riesco a proseguire... mi verrebbe da dire che devo dimostrare che le $X_n$ sono tutte limitate. Ma posso dirlo visto che è limitata $X$? Cioè... in generale vale: "X v.a. reale è limitata"?
Riguardo al v.a. reale è limitata, no. Non confondere il concetto di finitezza con limitatezza.
La definizione di convergenza q.c. Ti dice che esiste A misurabile, di misura 1, tale che
$ forall omega in A, \quad X_n(omega) to X(omega)$.
A questo punto, sempre per gli stessi $ omega$, cosa puoi dire sul $"sup" {X_n(omega), n in NN}$?
La definizione di convergenza q.c. Ti dice che esiste A misurabile, di misura 1, tale che
$ forall omega in A, \quad X_n(omega) to X(omega)$.
A questo punto, sempre per gli stessi $ omega$, cosa puoi dire sul $"sup" {X_n(omega), n in NN}$?
Per me il sup di quella successione $X_n$ è la v.a. $Y$ che maggiora tutta le v.a. $X_n$.
Mi viene voglia di dire che $Y$ tende a $X$.... ma non so dire perchè! (ammesso che sia giusto)
Mi viene voglia di dire che $Y$ tende a $X$.... ma non so dire perchè! (ammesso che sia giusto)
"nuwanda":
Mi viene voglia di dire che $ Y $ tende a $ X $.... ma non so dire perchè! (ammesso che sia giusto)
Ma, innanzitutto sia X che Y non dipendono da n quindi cosa vuol dire "che tende"?
Forse intuisco quello che dici, ma non è vero.
"nuwanda":
Per me il sup di quella successione $ X_n $ è la v.a. $ Y $ che maggiora tutta le v.a. $ X_n $.
Il sup della successione reale (perchè omega è fissato) $X_n(omega)$ è un numero reale (che è appunto ben definito e reale perche le successioni convergenti sono limitate). Questo numero reale è $Y(omega)$.
Riesci quindi ad ordinare il tutto?
Scusami la testardaggine, ma mi sono costruito quest'altro controesempio:
Data la successione di variabili aleatorie $X_n= x^2 I_{[-n,n]}$, cioè valgono $x^2$ nel compatto $[-n,n]$, convergono q.c. alla variabile aleatoria $X=x^2$, il tutto definito su $\Omega = R$. Allora per ogni $w$, sup$X_n(w)$ è reale e finito, ma la v.a. $Y$, che per me coincide con $X$, non è affatto $Y<+\infty$.
Data la successione di variabili aleatorie $X_n= x^2 I_{[-n,n]}$, cioè valgono $x^2$ nel compatto $[-n,n]$, convergono q.c. alla variabile aleatoria $X=x^2$, il tutto definito su $\Omega = R$. Allora per ogni $w$, sup$X_n(w)$ è reale e finito, ma la v.a. $Y$, che per me coincide con $X$, non è affatto $Y<+\infty$.
"nuwanda":
Allora per ogni $ w $, sup$ X_n(w) $ è reale e finito, ma la v.a. $ Y $, che per me coincide con $ X $, non è affatto $ Y<+\infty $.
Innanzitutto nota che x e omega hanno lo stesso significato in quello che scrivi; questo giusto per evitare confusione.
Mi dici: che per ogni omega $"sup" X_n(omega)=Y(omega)$ è reale e finito, ma poi dici che non è affatto $Y<+infty$.
Che cosa significa che $Y<+infty$?
Comunque la dimostrazione segue diretta da questo fatto: una successione reale convergente è limitata.
Questo fa si che vale la seguente inclusione:
$ A={omega in Omega | \quad X_n(omega) to X(omega)} sube {omega in Omega | \quad "sup"_nX_n(omega)<+infty}=B$
Essendo $P(A)=1$ allora $P(B)=1$.
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