Completa casualità istanti di rinnovo nel modello Poissoniano
Ciao a tutti, volevo chiedere a voi esperti una cosa che non riesco a capire. Sicuramente è una banalità, però non mi viene proprio in mente.
Il mio problema è la comprensione di una dimostrazione riguardante la completa casualità degli istanti di rinnovo nel modello Poissoniano.
Ve la mostro:
Si vuole dimostrare che se “n” rinnovi si sono verificati nell'intervallo [0,t] in accordo
ad un modello poissoniano, allora i corrispondenti istanti di rinnovo risulteranno
localizzati nell'intervallo [0,t] allo stesso modo in cui li avrebbe sistemati il classico
“osservatore completamente casuale”. In altre parole, il processo di Poisson può essere
visto come un generatore di osservazioni indipendenti nel tempo e distribuite in maniera
completamente casuale.
Per provare l'asserzione si immagini di partizionare l' intervallo $ [0,t] $ in $ 2n+1 $ intervallini
di ampiezza variabile: $ s_1 ,h_1 ,s_2 ,h_2 ,....s_n , h_n , s_(n+1) $ e si indichi con
"E" l' evento che contempla uno ed un sol rinnovo in ciascuno degli intervallini di lunghezza
$ h_i , i = 1,2,..., n $ e nessun rinnovo in ciascuno degli intervallini $ s_j , j =1,2,..., n+1 $ .
Allora risulta:
$ Pr[E|N(t)=n]= (Pr[E nn N(t)=n])/(Pr[N(t)=n]) $
e fin qua ci sono perche ha solamente riscritto la formula come l'intersezione diviso l'evento condizionante
A questo punto dice che per definizione di processo di rinnovo, i rinnovi relativi ad intervallini disgiunti sono fra
di loro indipendenti, perciò la probabilità congiunta di osservare un rinnovo in $ h_i $ ed un
altro in $ h_k $ è data dal prodotto:
$\lambda h_i e^(-\lambda h_i) * \lambda h_k e^(-\lambda h_k)$
E Analogamente, il prodotto:
$e^(-\lambda s_i) * e^(-\lambda s_k)$
esprime la probabilità che nessun rinnovo si verifichi in $ s_i $ e $ s_k $
___________________________________________________________________________________________
Queste sono le due cose che mi sfuggono! Da dove derivano questi valori? Le prime sono sicuramente delle densità e credo prevengano dalla formula della distribuzione condizionata ma non ho capito bene come, mentre le seconde mi sembrano delle $(1-F_x(t))$ dove per $ F_x(t) $ intendo delle distribuzioni. Non so se le mie intuizioni sono giuste o sbagliate.
___________________________________________________________________________________________
La formula che ne viene fuori è quindi:
$ Pr[E|N(t)=n] =((\lambda h_1 ... \lambda h_n e^(-\lambda h_1) ... e^(-\lambda h_n))(e^(-\lambda s_1) ... e^(-\lambda s_(n+1))))/( ((\lambda t)^n)/(n!) e^(-\lambda t) ) $
Dove mi è chiaro solo il denominatore.
La formula continua :
$= ((h_1 ... h_n)(n!))/(t^n) = (h_1/t) ... (h_n/t) n! $
Concludendo quindi che la distribuzione degli istanti di rinnovo prodotti da un modello
poissoniano coincide con quella che si otterrebbe sistemando a caso n oggetti
indistinguibili (istanti d'arrivo) su n posti (intervallini) di ampiezza variabile. Infatti
$ h_i / t $ rappresenta la probabilità che l' intervallino di ampiezza $ h_i $ accolga un istante di
rinnovo e $n!$ sono tutti i modi possibili di sistemare n istanti su n intervallini.
___________________________________________________________________________________________
La conclusione mi è abbastanza chiara ma anche il penultimo passaggio non mi è chiaro (come si semplificano gli esponenziali?).
___________________________________________________________________________________________
Spero in una vostra risposta...
Grazie
Il mio problema è la comprensione di una dimostrazione riguardante la completa casualità degli istanti di rinnovo nel modello Poissoniano.
Ve la mostro:
Si vuole dimostrare che se “n” rinnovi si sono verificati nell'intervallo [0,t] in accordo
ad un modello poissoniano, allora i corrispondenti istanti di rinnovo risulteranno
localizzati nell'intervallo [0,t] allo stesso modo in cui li avrebbe sistemati il classico
“osservatore completamente casuale”. In altre parole, il processo di Poisson può essere
visto come un generatore di osservazioni indipendenti nel tempo e distribuite in maniera
completamente casuale.
Per provare l'asserzione si immagini di partizionare l' intervallo $ [0,t] $ in $ 2n+1 $ intervallini
di ampiezza variabile: $ s_1 ,h_1 ,s_2 ,h_2 ,....s_n , h_n , s_(n+1) $ e si indichi con
"E" l' evento che contempla uno ed un sol rinnovo in ciascuno degli intervallini di lunghezza
$ h_i , i = 1,2,..., n $ e nessun rinnovo in ciascuno degli intervallini $ s_j , j =1,2,..., n+1 $ .
Allora risulta:
$ Pr[E|N(t)=n]= (Pr[E nn N(t)=n])/(Pr[N(t)=n]) $
e fin qua ci sono perche ha solamente riscritto la formula come l'intersezione diviso l'evento condizionante
A questo punto dice che per definizione di processo di rinnovo, i rinnovi relativi ad intervallini disgiunti sono fra
di loro indipendenti, perciò la probabilità congiunta di osservare un rinnovo in $ h_i $ ed un
altro in $ h_k $ è data dal prodotto:
$\lambda h_i e^(-\lambda h_i) * \lambda h_k e^(-\lambda h_k)$
E Analogamente, il prodotto:
$e^(-\lambda s_i) * e^(-\lambda s_k)$
esprime la probabilità che nessun rinnovo si verifichi in $ s_i $ e $ s_k $
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Queste sono le due cose che mi sfuggono! Da dove derivano questi valori? Le prime sono sicuramente delle densità e credo prevengano dalla formula della distribuzione condizionata ma non ho capito bene come, mentre le seconde mi sembrano delle $(1-F_x(t))$ dove per $ F_x(t) $ intendo delle distribuzioni. Non so se le mie intuizioni sono giuste o sbagliate.
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La formula che ne viene fuori è quindi:
$ Pr[E|N(t)=n] =((\lambda h_1 ... \lambda h_n e^(-\lambda h_1) ... e^(-\lambda h_n))(e^(-\lambda s_1) ... e^(-\lambda s_(n+1))))/( ((\lambda t)^n)/(n!) e^(-\lambda t) ) $
Dove mi è chiaro solo il denominatore.
La formula continua :
$= ((h_1 ... h_n)(n!))/(t^n) = (h_1/t) ... (h_n/t) n! $
Concludendo quindi che la distribuzione degli istanti di rinnovo prodotti da un modello
poissoniano coincide con quella che si otterrebbe sistemando a caso n oggetti
indistinguibili (istanti d'arrivo) su n posti (intervallini) di ampiezza variabile. Infatti
$ h_i / t $ rappresenta la probabilità che l' intervallino di ampiezza $ h_i $ accolga un istante di
rinnovo e $n!$ sono tutti i modi possibili di sistemare n istanti su n intervallini.
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La conclusione mi è abbastanza chiara ma anche il penultimo passaggio non mi è chiaro (come si semplificano gli esponenziali?).
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Spero in una vostra risposta...
Grazie
Risposte
Per il primo dubbio: se una variabile è poissoniana di parametro $\lambda$ allora la probabilità che valga $0$ (no rinnovi) sarà
\(\displaystyle P[0] = \left.\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\right|_{k=0}=e^{-\lambda}\),
mentre la probabilità di averne $1$
\(\displaystyle P[1] = \left.\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\right|_{k=1}=\lambda e^{-\lambda}\),
Il numeratore della frazione è quindi il prodotto di tutte queste probabilità (zero rinnovi o un rinnovo), poiché l'evento "rinnovo nell'intervallino $n$" è indipendente dall'evento "rinnovo nell'intervallino $n+1$".
Gli esponenziali a numeratore si semplificano con quello a denominatore: sfrutta la proprietà degli esponenziali $e^a e^b = e^{a+b}$ per vederlo.
PS: al posto di "completa casualità" io trovo più facile dire che gli arrivi passati hanno distribuzione uniforme.
\(\displaystyle P[0] = \left.\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\right|_{k=0}=e^{-\lambda}\),
mentre la probabilità di averne $1$
\(\displaystyle P[1] = \left.\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\right|_{k=1}=\lambda e^{-\lambda}\),
Il numeratore della frazione è quindi il prodotto di tutte queste probabilità (zero rinnovi o un rinnovo), poiché l'evento "rinnovo nell'intervallino $n$" è indipendente dall'evento "rinnovo nell'intervallino $n+1$".
Gli esponenziali a numeratore si semplificano con quello a denominatore: sfrutta la proprietà degli esponenziali $e^a e^b = e^{a+b}$ per vederlo.
PS: al posto di "completa casualità" io trovo più facile dire che gli arrivi passati hanno distribuzione uniforme.
"elgiovo":
Per il primo dubbio: se una variabile è poissoniana di parametro $\lambda$ allora la probabilità che valga $0$ (no rinnovi) sarà
\(\displaystyle P[0] = \left.\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\right|_{k=0}=e^{-\lambda}\),
mentre la probabilità di averne $1$
\(\displaystyle P[1] = \left.\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\right|_{k=1}=\lambda e^{-\lambda}\),
Ti ringrazio tantissimo
Quindi come mai sono nella forma: $\lambda h_i e^(-\lambda h_i) $ ?
$\lambda h_i $ è il parametro della distribuzione esponenziale? o il parametro della distr. esp. è $\lambda$ mentre $h_i$ significa qualcos'altro?
Scusa se tutto questo ti può sembrare banale ma sono un po confuso...
Ti ringrazio ancora tantissimo... avrai perso un sacco di tempo a leggere la mia domanda lunghissima... Sei un mito!
In un processo di Poisson di parametro $\lambda$ costante, gli arrivi (una variabile aleatoria discreta) in un determinato intervallo di lunghezza temporale $h_i$ sono distribuiti secondo Poisson di parametro $\lambda \cdot h_i$, quindi la prob. che non ci siano arrivi in $h_i$ è pari a $e^{-\lambda h_i}$, la prob. che ce ne sia uno è $\lambda h_i e^{-\lambda h_i}$ e così via. Ti è chiaro ora?
Chiarissimo!!!
Ti ringrazio tantissimo... Ciao
Ti ringrazio tantissimo... Ciao
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