Come trovo la PDF di una variabile stocastica?

[Cantaro86]

Ciao ragazzi,
mi spiego meglio...
Dato un processo stocastico, ad esempio il moto Browniano geometrico: http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion
governato dall'equazione ${dS}/S = \mu dt + \sigma dW $
e con soluzione $S(t) = S_0 e^{(\mu - \sigma^2 /2)t + \sigma W_t}$
Come faccio a ricavarmi la "probability density function" di S(t) ?
Nel link a wikipedia, nel paragrafo "Properties" c'è scritto senza dare una dimostrazione.
grazie

PS: mi accontento anche se mi dite dove andare a vedermela... basta che non mi dite: "su un libro di analisi stocastica"

[fede.unive]

La risposta è abbastanza semplice. Se una v.c. $X$ $~$ $LN(m,s^2)$ la sua funzione di densità è

$f(x)= 1/(sqrt(2 \pi s^2)\cdot x) \cdot e^(- [ln(x)-m]^2/(2s^2))$

Inoltre sai che media e varianza sono $bbb{E}(X)=e^(m+ s^2/2)$ e $bbb{V}(X)=e^(2m+s^2)\cdot(e^(s^2)-1)$. Nel tuo caso, visto la notazione, penso si parli di finanza e quindi di prezzi. Dalla teoria (lemma di Ito) sai che i rendimenti logaritmici si distribuiscono come

$R(t)=ln[S(t)]-ln[S(0)]$ $~$ $N[(\mu-\sigma^2/2)\cdot t \quad, \quad \sigma^2 \cdot t]$

dove $S(t)$ è il prezzo ignoto (stocastico) al tempo $t$ e $S_0$ è il prezzo noto al tempo $0$. $\mu$ e $\sigma$ sono i coefficienti dell'equazione di diffusione. Da ciò deriva

$ln[S(t)]$ $~$ $N[(\mu-\sigma^2/2)\cdot t +ln[S(0)]\quad, \quad\sigma^2 \cdot t]$

ossia

$S(t)$ $~$ $LN[(\mu-\sigma^2/2)\cdot t +ln[S(0)]\quad, \quad \sigma^2 \cdot t]$

Per questo motivo, hai una funzione di densità

$f(s)= 1/(sqrt(2 \pi \sigma^2 t)\cdot s) \cdot e^(-[ln(s)-(\mu-\sigma^2/2)\cdot t -ln[S(0)] ]^2/(2 \cdot \sigma^2 \cdot t)$

che è la funzione che riporta Wikipedia. Inoltre hai

$bbb{E}[S(t)]=e^([(\mu-\sigma^2/2)\cdot t +ln[S(0)]+ (\sigma^2 \cdot t)/2])= S(0) \cdot e^(\mu \cdot t)$

e

$bbb{V}[S(t)]=e^(2([(\mu-\sigma^2/2)\cdot t +ln[S(0)])+\sigma^2 \cdot t))\cdot(e^(\sigma^2 \cdot t)-1)=S(0)^2 \cdot e^(2\cdot \mu \cdot t)\cdot(e^(\sigma^2 \cdot t)-1)$

[Cantaro86]

Ti ringrazio per la risposta.
Però non ho ben capito alcune cose.
Tu all'inizio parti già dal presupposto che $X ~ LN(m,s^2)$, ma questo io non l'ho specificato.
Poi, più avanti dici che grazie al Lemma di Ito posso ottenere la distribuzione dei rendimenti logaritmici. Questa parte, riusciresti a spiegarmela meglio? penso che sia il punto fondamentale che mi manca... grazie

Io vorrei capire come ottenere la PDF partendo dall'equazione stocastica alla base... (so che si può usare il teorema di Fokker-Plank, ma volevo sapere se è possibile farne a meno)

[fede.unive]

Evidentemente non mi sono spiegato bene. La prima parte è una "nota tecnica", nel senso che, se una v.c. si distribuisce come una lognormale con parametri $m$ e $s^2$ (che, bada bene, non sono la sua media e varianza), allora, per definizione, ha quella funzione di densità.

[fede.unive]

(Sorry per lo split...)
La suddetta nota tecnica, mi serve per dimostrare una cosa successivamente. La prendo alla lontana, non sapendo quanto sai di equazioni differenziali stocastiche. Dato un processo stocastico ${X(t)}_(t>=0)$, questo può (forse, sorvoliamo su questo punto) essere rappresentato da un'SDE della forma:

$\text{d}X=a(X,t) \cdot \text{d}t + b(X,t) \cdot \text{d}W$

dove $\text{d}W$ è il differenziale stocastico (ossia ${W(t)}_(t>=0)$ è un moto browniano standard, che do per assodato tu sappia cos'è) detto anche white noise. La funzione $a(X,t)$ è detta coefficiente di drift e $b(X,t)^2$ coefficiente di diffusione. Per ottenere un moto browniano non standard (o aritmetico) ${Y(t)}_(t>=0)$, basta porre $a(Y,t)=\mu$ e $b(Y,t)^2=\sigma^2$. Quindi ottieni

$\text{d}Y=\mu \cdot \text{d}t + \sigma \cdot \text{d}W$

che è la "versione differenziale" della definizione di moto browniano aritmetico, ossia

$Y(t):=Y(0)+\mu \cdot t + \sigma \cdot W(t)$

Ora, come saprai, essendo il moto browniano non differenziabile quasi ovunque, la quantità $\text{d}W$ crea qualche "problema", essendo priva di senso la derivata. Saprai anche bene che, per le funzioni "tranquille" la formula del differenziale totale dice che, se $y=f(w,t)$ (uso le minuscole per sottolineare che sono variabili deterministiche), hai:

$\text{d}y= (\partial f)/(\partial t) \text{d}t+(\partial f)/(\partial w) \text{d}w$

Il problema è che per i processi stocastici questo non è verificato. E qui interviene il lemma di Ito (che è la versione stocastica del differenziale totale). Questo afferma che, sotto opportune condizioni (la dimostrazioni la trovi ovunque)

$\text{d}Y= ((\partial f)/(\partial t) + 1/2 \cdot (\partial^2 f)/(\partial W^2) )\text{d}t+(\partial f)/(\partial W) \text{d}W$

Prendiamo ora il moto browniano aritmetico ${Y(t)}_(t>=0)$ (per inciso abbiamo, per definizione $W(t)~ N(0,t)$ e quindi $Y(t)~ N(W(0)+\mu \cdot t,\sigma^2 \cdot t)$) e applichiamo il lemma di Ito. Poiché $Y=f(W,t)$, abbiamo:

$(\partial f)/(\partial t) =\mu$ $ $ $,$ $ $ $(\partial f)/(\partial W)=\sigma$ $ $ $\text{e}$ $ $ $(\partial^2 f)/(\partial W^2) =0$

e sostituendo otteniamo l'espressione precedente (e quindi siamo apposto!)

$\text{d}Y=\mu \cdot \text{d}t + \sigma \cdot \text{d}W$

Ora prendiamo il moto browniano geometrico ${S(t)}_(t>=0)$, il quale è definito nel seguente modo:

$S(t):=S(0) \cdot e^(\quad (\mu - 1/2 \cdot \sigma^2)\cdot t + sigma \cdot W(t))$

essendo l'esponente un moto browninano aritmetico con $Y(0)-=0$ e coefficiente di drift pari a $\mu - 1/2 \cdot \sigma^2$ (il perché ti tale coefficiente sarà chiaro dopo). Per tale definizione hai ovviamente

$S(t)~ LN(ln[S(0)]+ (\mu - 1/2 \cdot \sigma^2)\cdot t, \sigma^2 \cdot t)$

Anche in questo caso, il moto browniano geometrico è una funzione del tempo e del moto browniano standard. Quindi, applicando il lemma di Ito, ottieni

$(\partial f)/(\partial t) = (\mu - 1/2 \cdot \sigma^2)\cdot f$ $ $ $,$ $ $ $(\partial f)/(\partial W)=\sigma \cdot f$ $ $ $\text{e}$ $ $ $(\partial^2 f)/(\partial W^2) =\sigma^2 \cdot f$

Poiché $f(Z,t)=S(t)=S(0) \cdot e^(\quad (\mu - 1/2 \cdot \sigma^2) \cdot t + sigma \cdot W(t))$, hai

$(\partial f)/(\partial t) = (\mu - 1/2 \cdot \sigma^2) \cdot S$ $ $ $,$ $ $ $(\partial f)/(\partial W)=\sigma \cdot S$ $ $ $\text{e}$ $ $ $(\partial^2 f)/(\partial W^2) =\sigma^2 \cdot S$

Sostituendo

$\text{d}S= [ (\mu - 1/2 \cdot \sigma^2)\cdot S+ 1/2 \cdot \sigma^2 \cdot S ]\text{d}t+(\sigma \cdot S) \text{d}W $
$\text{d}S= \mu \cdot S \quad \text{d}t+\sigma \cdot S \quad \text{d}W $

Pertanto la versione differenziale del moto browniano geometrico ha coefficiente di drift $a(S,t)=\mu \cdot S$ e coefficiente di diffusione $b(S,t)^2= \sigma^2 \cdot S^2$. Dividendo per $S$, ottiene quella che avevi scritto tu

$(\text{d}S)/S= \mu \quad \text{d}t+ \sigma \quad \text{d}W $

[Cantaro86]

Grazie mille per la chiara esposizione!!
Ora che vedo i calcoli esposti per bene, mi hai chiarito tutti i dubbi