Combinazioni. 8 persone in 2 stanze, e ogni stanza 2 persone dentro.

[haru1]

Salve a tutti,

ho il seguente problema che ho risolto,

Trovare il numero di modi per i quali 8 persone possono essere assegnate a 2 differenti stanze se ogni stanza deve avere ALMENO 2 persone in essa.

Propongo qui il mio procedimento, ma per cortesia, mi piacerebbe sapere se esiste un metodo alternativo più veloce per risolverlo:

Se ALMENO 2 persone devono stare in ogni stanza, le seguenti configurazioni sono valide:

[*:s11yqg28] 2 nella 1^ stanza e 6 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28]
[*:s11yqg28] 3 nella 1^ stanza e 5 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28]
[*:s11yqg28] 4 nella 1^ stanza e 4 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28]
[*:s11yqg28] 5 nella 1^ stanza e 3 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28]
[*:s11yqg28] 6 nella 1^ stanza e 2 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28][/list:u:s11yqg28]

perciò i casi non voluti sono i seguenti:


[*:s11yqg28] 0 nella 1^ stanza e 8 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28]
[*:s11yqg28] 1 nella 1^ stanza e 7 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28]
[*:s11yqg28] 7 nella 1^ stanza e 1 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28]
[*:s11yqg28] 8 nella 1^ stanza e 0 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28][/list:u:s11yqg28]

utilizzando i casi voluti ho effettuato le seguenti combinazioni:
\(\displaystyle \binom{8}{2}\binom{6}{6} + \binom{8}{3}\binom{5}{5} + \binom{8}{4}\binom{4}{4} + \binom{8}{5}\binom{3}{3} + \binom{8}{6}\binom{2}{2} = \\ = 28 + 56 + 70 + 56 + 28 = 238 \)

esiste un metodo più veloce?

ho cercato anche di risolverlo considerando la formula: (casi senza restrizioni) - (casi non voluti), ma senza successo.

Nell'esercizio c'è:

[*:s11yqg28] 2 nella 1^ stanza e 6 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28]
[*:s11yqg28] 6 nella 1^ stanza e 2 nella 2^ stanza;[/*:m:s11yqg28][/list:u:s11yqg28]
in questo caso, invece di considerare due combinazioni differenti, dovrei considerare invece una combinazione moltiplicata per 2! (2 fattoriale), perciò coinvolgere nell'esercizio anche le permutazioni?

grazie mille!

[momo16]

"haru":Salve a tutti,

ho il seguente problema che ho risolto,

Trovare il numero di modi per i quali 8 persone possono essere assegnate a 2 differenti stanze se ogni stanza deve avere ALMENO 2 persone in essa.

Propongo qui il mio procedimento, ma per cortesia, mi piacerebbe sapere se esiste un metodo alternativo più veloce per risolverlo:

Se ALMENO 2 persone devono stare in ogni stanza, le seguenti configurazioni sono valide:

[*:202vwc7p] 2 nella 1^ stanza e 6 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p]
[*:202vwc7p] 3 nella 1^ stanza e 5 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p]
[*:202vwc7p] 4 nella 1^ stanza e 4 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p]
[*:202vwc7p] 5 nella 1^ stanza e 3 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p]
[*:202vwc7p] 6 nella 1^ stanza e 2 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p][/list:u:202vwc7p]

perciò i casi non voluti sono i seguenti:


[*:202vwc7p] 0 nella 1^ stanza e 8 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p]
[*:202vwc7p] 1 nella 1^ stanza e 7 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p]
[*:202vwc7p] 7 nella 1^ stanza e 1 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p]
[*:202vwc7p] 8 nella 1^ stanza e 0 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p][/list:u:202vwc7p]

utilizzando i casi voluti ho effettuato le seguenti combinazioni:
\(\displaystyle \binom{8}{2}\binom{6}{6} + \binom{8}{3}\binom{5}{5} + \binom{8}{4}\binom{4}{4} + \binom{8}{5}\binom{3}{3} + \binom{8}{6}\binom{2}{2} = \\ = 28 + 56 + 70 + 56 + 28 = 238 \)

esiste un metodo più veloce?

ho cercato anche di risolverlo considerando la formula: (casi senza restrizioni) - (casi non voluti), ma senza successo.

Nell'esercizio c'è:

[*:202vwc7p] 2 nella 1^ stanza e 6 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p]
[*:202vwc7p] 6 nella 1^ stanza e 2 nella 2^ stanza;[/*:m:202vwc7p][/list:u:202vwc7p]
in questo caso, invece di considerare due combinazioni differenti, dovrei considerare invece una combinazione moltiplicata per 2! (2 fattoriale), perciò coinvolgere nell'esercizio anche le permutazioni?

grazie mille!

Tutte le possibili combinazioni di un insieme di $n$ oggetti sono date da:

$2^n=( (n), (1) )+( (n), (2) )+....+( (n), (n))$
(perchè se osservi, sviluppando il binomio di Newton, $(a+b)^n=....$ se $a=1, b=1$)

Quindi questi sono i tutti i casi senza restrinzione. A questi poi sottrai i due che non ti interessano$ ( (8), (0) )$ e $ ( (8), (1) )$ e $ ( (8), (7) )$ e $ ( (8), (8) ) $ , cioè le combinazioni in cui non ci sono almeno due persone per ogni stanza.
$256-8-8-1-1=238$

Quando parli di permutazioni, ricorda che una combinazione di k oggetti da un insieme di n non è altro che una disposizione di k oggetti da un insieme di n diviso le permutazioni dei k oggetti. (ovvero, non ti interessa l'ordine di questi ultimi). Sono sostanzialmente la stessa cosa.

[haru1]

"haru": 2 nella 1^ stanza e 6 nella 2^ stanza;
3 nella 1^ stanza e 5 nella 2^ stanza;
4 nella 1^ stanza e 4 nella 2^ stanza;
5 nella 1^ stanza e 3 nella 2^ stanza;
6 nella 1^ stanza e 2 nella 2^ stanza;

Come si può notare la situazione nelle prime righe la si ritrova ribaltata nelle ultime righe. Quello che vorrei riuscire a capire è: se consideriamo in questo caso una coppia ordinata, secondo cui la prima posizione rappresenta la 1^ stanza, e la seconda posizione la 2^ stanza, si potrebbe arrivare allo stesso risultato?