Combinatoria

[miuemia]

quanti sono gli addendi di un polinomio omogeneo di sesto grado nelle variabili $x,y,z$???
cioè tutti!!!
$x^6+y^6+z^6+x^5z+...$ecc...
mi servirebbe una formula...
grazie a tutti.
io nn riesco a togierla fuori

[zorn801]

E' il numero dei modi in cui si può ottenere 6 con somme di 3 numeri interi non negativi.

Beh credo ci sia nel calcolo combinatorio una formula generale in questo senso

[TomSawyer1]

Non proprio. Il numero di monomi diversi omogenei di grado $m$ in $n$ variabili è $((m+n-1),(m))$.

In quel caso particolare, è $((8),(6))=((8),(2))$, cioè se vediamo $6$ come $111111$, vogliamo il numero di possibilità di inserire due segni $+$ in mezzo a (o anche ai lati di) quegli $1$, che chiaramente corrisponde al numero di sottoinsiemi di $2$ elementi di un insieme con cardinalità $8$.

[elgiovo]

Un modo un pò fantasioso di vedere la cosa: se le variabili fossero state due sarebbe bastato contare il numero di elementi della settima riga del triangolo di Tartaglia.
Se costruiamo una "piramide" di Tartaglia basta contare il numero di elementi presenti in ogni livello. La cosa è facile, perchè la disposizione dei coefficienti lungo il livello $n$ eguaglia la disposizione nel normale triangolo troncato alla $n$-esima riga (anche se i numeri non sono gli stessi). Dunque il numero di monomi è triangolare, e per un polinomio omogeneo in tre variabili di grado $m$ vale $((m+1)(m+2))/2=((m+2),(2))$.
Questo induce un'interessante generalizzazione. Per quattro variabili si dovrà costruire una "iperpiramide" il cui "livello" $m+1$ è una piramide (ovviamente il tutto non è molto visibile...) che conterà un numero di elementi pari a $sum_(k=0)^m ((k+2),(2))=((m+1)(m+2)(m+3))/6=((m+3),(m))$. In generale quindi il numero di monomi di un polinomio omogeneo di grado $m$ in $n$ variabili è proprio $sum_(k=0)^(m)((k+n-2),(k))=((m+n-1),(m))$.
Ciao.