Coefficienti Binomiali e sintassi matematica

[vincenzo2342-votailprof]

Buongiorno a tutti.

Il mio professore di Analisi Matematica I ha spiegato in maniera difficile e veloce questo argomento.
Ho cercato su internet, ma ho ancora dubbi.

Ad esempio.
Guardate questo documento: http://www.matematica.it/impedovo/articoli/Coefficienti%20binomiali.pdf
A pagina 3, La definizione aritmetica, al 3° paragrafo:

Si pone ora il problema di calcolare direttamente un coefficiente binomiale, senza ricorrere al
faticoso conteggio del numero di sottoinsiemi di un insieme, né al triangolo di Pascal.
Innanzitutto ricordiamo che un insieme di k elementi si può ordinare in k! modi (si legge "k
fattoriale"), dove per definizione
k! = 1 · 2 · … · k.
Infatti possiamo scegliere il primo elemento in k modi diversi, il secondo n k−1 modi diversi, …,
l'ultimo in 1 solo modo; le scelte sono indipendenti e perciò il numero totale di scelte è
k · (k−1)· … · 1 = k!. Ogni ordinamento si chiama permutazione: il numero di permutazioni di k
elementi è k!.

Veniamo ora al nostro problema: quanti sono i sottoinsiemi di k elementi in un insieme di n
elementi? Per scegliere k elementi su n possiamo procedere così: il primo elemento lo possiamo
scegliere in n modi, il secondo in n−1 modi, …, l’ultimo in n−k+1 modi. Abbiamo così scelto
ordinatamente k elementi su n. Il numero di sottoinsiemi ordinati di k è dunque

Cosa si intende per ordinato?

Visto che nessuno fa mai esempi, provo a farne uno per cercare di capire:
ipotizzo di avere un insieme di 4 elementi e di estrarne 2.
n = 4;
k = 2;
E' così che si imposta il problema? K sarebbero le estrazioni (o meglio i numeri estratti)?

1^ estrazione: 4 modi (cioè posso scegliere l'elemento in 4 modi)
2^estrazione: 3 modi
3^estrazione: 2 modi
4^estrazione: 1 modo


In lettere:

1^ estrazione: n modi
2^ estrazione: n-1 modi oppure (n-k)+1
...
n^ estrazione: 1

Ho visto giusto? Sono un po' confuso.

[Umby2]

Hai 10 carte numerate da 1 a 10.
Decidi di prenderne 4 e di metterle ordinate sul tavolo (la prima, la seconda, la terza e la quarta).

In quanti modi diversi puoi prendere le 4 carte ?

In questo caso n=10, k=4

la prima puo essere una delle 10 (n)
la seconda una delle 9 rimaste (n-1)
la terza una delle 8 rimaste (n-2)
la quarta una delle 7 rimaste (n-k+1)

[vincenzo2342-votailprof]

"Umby":Hai 10 carte numerate da 1 a 10.
Decidi di prenderne 4 e di metterle ordinate sul tavolo (la prima, la seconda, la terza e la quarta).

In quanti modi diversi puoi prendere le 4 carte ?

In questo caso n=10, k=4

la prima puo essere una delle 10 (n)
la seconda una delle 9 rimaste (n-1)
la terza una delle 8 rimaste (n-2)
la quarta una delle 7 rimaste (n-k+1)

quindi n-k+1 indica i modi all'ultima estrazione..

Continuo a non afferrare che significhi ordinate. O per lo meno cosa cambia dire che le prendo in maniera non ordinata.
Che io le metta in maniera ordinata o meno ho sempre gli stessi modi di estrarre le carte (le stesse permutazioni).
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Un altro esempio che non mi è chiaro è questo:

Fissati n,k $ in $ $ N^{+} $
consideriamo le disposizioni 1,2,......,n in sequenze ordinate senza ripetizioni di K elementi (a1,a2,.....,ak)
aj$ in $An, ai $!=$aj per $i!=j$
(k-upla ordinata senza ripetizione)
Teorema
Sia d[size=59]n,k[/size] il numero totale di k-upla formate da An
d[size=59]n,k[/size]=n(n-1)(n-2).....(n-k+1)

$(n!)/((n-k)!)=$ $ ( ( n ),( k ) ) k!$

Il n° totale di possibilità è: n(n-1)(n-2)...(n-k+1)


Non ho parole. e non so dove sbatter la testa. Gli appunti non mi dicono niente ed il libro di teoria è egualmente incomprensibile... non dà esempi pratici.
Io queste cose non le ho mai viste prima d'ora e senza un esempio questi simboli e queste estrazioni ordinate non hanno alcun significato.

[dissonance]

@tesseratto: Puoi provare a consultare questo super-classico:

Choice and Chance di W.A. Whitworth (1870!!!)

che trovi qui

nelle prime pagine spiega in modo chiaro ed informale i concetti base del calcolo combinatorio.