Coefficente C4 per la stima della Dev Stand
Salve a tutti.
Nelle carte di controllo S per i processi aziendali, in cui la varianza $\sigma$ della popolazione è sconosciuta, l'errore della stima ottenuta dall'aspettazione delle deviazioni standard campionarie calcolata su k sottogruppi (da $N$ elementi ciscuno) è corretta dal coefficente $c4$, o meglio:
definita
$ S_{k}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^2}{N}}$
come la devizione standard campionaria sul sottogruppo K e con
$\hat{S}=\frac{\sum_{k=1}^{K} S_{k}}{K}=E$
l'aspettazione delle deviazioni standard, il valore della deviazione standard potrà essere stimato come:
$\sigma=\frac{\hat{S}}{c4)}$
dove $c4$ è definito come:
$ c4=\frac{\Gamma_{(\frac{N}{2})}\sqrt{2}}{\Gamma_{(\frac{N-1}{2})}\sqrt{N-1}}$
dove $\Gamma$ è per l'appunto la funzione gamma di Eulero.
Dovrei dimostrare la valità di tale argomento, ma non trovo riferimenti bibliografici a riguardo (nei testi che ho consultato il risultato è fornito nella forma sovraesposta).
Suppongo (non sò se a torto o ragione purtroppo) che la derivazione di tale formula sia strettamente legata al teorema di Cochran, che afferma che la variabile aleatoria $\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}$ segua la distribuzione scalata di una $\chi^{2}$ con $n-1$ gradi di libertà, più precisamente:
$ \frac{S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \frac{\chi^{2}_{n-1}}{n-1}$
e quindi il calcolo dell'aspettazione di $S$ effettuato utilizzando tale distribuzione di probabilità, dovrebbe ricondurre al risultato cercato
$E=\sqrt{\frac{2}{n-1}}\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}\sigma$
Qualcuno può essermi d'aiuto in tale senso?
Vi ringrazio anticipatamente
Nelle carte di controllo S per i processi aziendali, in cui la varianza $\sigma$ della popolazione è sconosciuta, l'errore della stima ottenuta dall'aspettazione delle deviazioni standard campionarie calcolata su k sottogruppi (da $N$ elementi ciscuno) è corretta dal coefficente $c4$, o meglio:
definita
$ S_{k}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^2}{N}}$
come la devizione standard campionaria sul sottogruppo K e con
$\hat{S}=\frac{\sum_{k=1}^{K} S_{k}}{K}=E
l'aspettazione delle deviazioni standard, il valore della deviazione standard potrà essere stimato come:
$\sigma=\frac{\hat{S}}{c4)}$
dove $c4$ è definito come:
$ c4=\frac{\Gamma_{(\frac{N}{2})}\sqrt{2}}{\Gamma_{(\frac{N-1}{2})}\sqrt{N-1}}$
dove $\Gamma$ è per l'appunto la funzione gamma di Eulero.
Dovrei dimostrare la valità di tale argomento, ma non trovo riferimenti bibliografici a riguardo (nei testi che ho consultato il risultato è fornito nella forma sovraesposta).
Suppongo (non sò se a torto o ragione purtroppo) che la derivazione di tale formula sia strettamente legata al teorema di Cochran, che afferma che la variabile aleatoria $\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}$ segua la distribuzione scalata di una $\chi^{2}$ con $n-1$ gradi di libertà, più precisamente:
$ \frac{S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \frac{\chi^{2}_{n-1}}{n-1}$
e quindi il calcolo dell'aspettazione di $S$ effettuato utilizzando tale distribuzione di probabilità, dovrebbe ricondurre al risultato cercato
$E
Qualcuno può essermi d'aiuto in tale senso?
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Ciao, direi che ci hai visto giusto.
$(n-1)/sigma^2S^2\simK$ (indico con $K$ una $chi^2$ con $nu=n-1$ gdl), da cui ricavo $S\simsigma/sqrt(n-1)sqrt(K)$
Quindi $E=sigma/sqrt(n-1)E[sqrt(K)]$
Se ho capito bene, il tuo problema è quindi dimostrare che $E[sqrt(K)]=sqrt(2)(Gamma(n/2))/(Gamma((n-1)/2))$
(come riportato anche qui per $k=n-1$)
Si può dimostrare utilizzando la speranza matematica della funzione $K^(1/2)$ trasformata della $K$, assumendo nota la densità della $K$.
$(n-1)/sigma^2S^2\simK$ (indico con $K$ una $chi^2$ con $nu=n-1$ gdl), da cui ricavo $S\simsigma/sqrt(n-1)sqrt(K)$
Quindi $E
Se ho capito bene, il tuo problema è quindi dimostrare che $E[sqrt(K)]=sqrt(2)(Gamma(n/2))/(Gamma((n-1)/2))$
(come riportato anche qui per $k=n-1$)
Si può dimostrare utilizzando la speranza matematica della funzione $K^(1/2)$ trasformata della $K$, assumendo nota la densità della $K$.
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