Clienti e banca
Ecco un altro esercizio con la Poisson. Lo posto con la speranza che stia iniziando a ragionare correttamente 
[ot]Sto supponendo che vi sia indipendenza degli arrivi, dato che il testo non lo specifica. Altrimenti non saprei proprio come risolverlo.[/ot]
$a)$ Se in trenta minuti sono arrivati 3 clienti (e quindi il numero medio di clienti che arriva all'ora è $\lambda=6$), il numero medio di clienti che arriva in 15 minuti ($X$) è $6\cdot 1/4=1,5$. Allora
Se invece in un ora arrivano 2 clienti significa che, in media, arrivano $2/3$ clienti ogni 20 minuti, quindi fissati $X_1={$cliente n°1 arriva nei primi 20 minuti$}$ e $X_2={$cliente n°2 arriva nei primi 20 minuti$}$:
I clienti arrivano in una banca secondo un processo di Poisson di tasso $\lambda>0$ per ora.
$a)$ Sapendo che dopo trenta minuti sono arrivati $3$ clienti, calcolare la distribuzione di probabilità del numero di clienti arrivati nei primi 15 minuti.
Supponiamo invece che due clienti siano arrivati nella prima ora. Calcolare la probabilità che:
$b)$ sono entrambi arrivati nei primi 20 minuti.
$c)$ almeno uno di loro sia arrivato nei primi 20 minuti.
$a)$ Sapendo che dopo trenta minuti sono arrivati $3$ clienti, calcolare la distribuzione di probabilità del numero di clienti arrivati nei primi 15 minuti.
Supponiamo invece che due clienti siano arrivati nella prima ora. Calcolare la probabilità che:
$b)$ sono entrambi arrivati nei primi 20 minuti.
$c)$ almeno uno di loro sia arrivato nei primi 20 minuti.
[ot]Sto supponendo che vi sia indipendenza degli arrivi, dato che il testo non lo specifica. Altrimenti non saprei proprio come risolverlo.[/ot]
$a)$ Se in trenta minuti sono arrivati 3 clienti (e quindi il numero medio di clienti che arriva all'ora è $\lambda=6$), il numero medio di clienti che arriva in 15 minuti ($X$) è $6\cdot 1/4=1,5$. Allora
$\mathbb(P)(X=i)=(e^(-1,5)1,5^i)/(i!)rArr X~ Po(1,5)$
Se invece in un ora arrivano 2 clienti significa che, in media, arrivano $2/3$ clienti ogni 20 minuti, quindi fissati $X_1={$cliente n°1 arriva nei primi 20 minuti$}$ e $X_2={$cliente n°2 arriva nei primi 20 minuti$}$:
$b)$ $\mathbb(P)(X_1,X_2)=\mathbb(P)(X_1)\mathbb(P)(X_2)=(e^(-4/3)(4/3)^(x_1+x_2))/([(2/3)]^2)$
$c)$ $\mathbb(P)($almeno uno di loro arriva nei primi 20 minuti$)=1-\mathbb(P)($nessuno dei due arriva nei primi 20 minuti$)$
=$1-(e^(-4/3)(4/3)^(x_1+x_2))/([(2/3)]^2)$
Risposte
"mobley":
I clienti arrivano in una banca secondo un processo di Poisson di tasso $\lambda>0$ per ora.
$a)$ Sapendo che dopo trenta minuti sono arrivati $3$ clienti, calcolare la distribuzione di probabilità del numero di clienti arrivati nei primi 15 minuti.
Supponiamo invece che due clienti siano arrivati nella prima ora. Calcolare la probabilità che:
$b)$ sono entrambi arrivati nei primi 20 minuti.
$c)$ almeno uno di loro sia arrivato nei primi 20 minuti.
a: Sappiamo che sono arrivati 3 clienti. La domanda non chiede il numero medio nei primi 15 minuti, ma la distribuzione ecc. ecc.
15 minuti sono la metà di 30 minuti. Il processo è di Poisson, quindi ogni cliente arriva nella prima metà del tempo con probabilità \(\frac{1}{2}\).
b e c: 20 minuti sono un terzo di 60 minuti. Il ragionamento è come nella parte a.
"ghira":
La domanda non chiede il numero medio nei primi 15 minuti, ma la distribuzione.
Appunto. Il testo chiede come si distribuisce la v. $X={$numero di clienti che arrivano nei primi 15 minuti$}$, quindi se il numero medio di clienti che arrivano in 15 minuti è $\lambda=1,5$ la variabile si distribuisce come una Poisson di parametro $1,5$.
"mobley":
Il testo chiede come si distribuisce la v. $X={$numero di clienti che arrivano nei primi 15 minuti$}$, quindi se il numero medio di clienti che arrivano in 15 minuti è $\lambda=1,5$ la variabile si distribuisce come una Poisson di parametro $1,5$.
No, perché una Poisson di parametro \(1,5\) potrebbe avere valori maggiori di 3. E tu sai che ci sono stati esattamente 3 clienti. Dato che ci sono stati esattamenti 3 clienti in 30 minuti, quali sono le probabilità di 0, 1, 2 e 3 clienti nei primi 15 minuti? Le probabilità di 4 o più clienti sono 0.
"ghira":
15 minuti sono la metà di 30 minuti, quindi ogni cliente arriva nella prima metà del tempo con probabilità $1/2$.
Se come dici non fossimo interessati al numero medio di clienti ($\lambda$), arrivando certamente 3 clienti in 30 minuti, $1/2$ è la probabilità che ne arrivano 3 in 15 minuti e non uno soltanto. Quindi in realtà è proprio il numero medio di clienti al quale siamo interessati, che però giustamente non è $1,5$ come ho detto io bensì $0,5$. Ne segue che $\mathbb(P)(X=x)=(e^(-0,5)0,5^i)/(i!)rArr X~ Po(1/2)$, e come hai chiesto:
- $\mathbb(P)(X=0)=(e^(-0,5)0,5^0)/(0!)$
- $\mathbb(P)(X=1)=(e^(-0,5)0,5^1)/(1!)$
- $\mathbb(P)(X=2)=(e^(-0,5)0,5^2)/(2!)$
- $\mathbb(P)(X=3)=(e^(-0,5)0,5^3)/(3!)$
la cui somma restituisce l'unità.
Sapendo che 3 clienti sono arrivati in 30 minuti, la probabilità che 0..3 clienti sono arrivati nei primi 15 minuti è semplicemente \(\text{Bin}(3,0.5)\). Troppo bello per essere vero, lo so. Intendevo che ogni singolo cliente arriva nei primi 15 minuti con probabilità \(\frac{1}{2}\).
Riflettendoci ha senso, ma allora perchè indicare l'intervallo orario se dici che $1/2$ è da intendersi soltanto come $\mathbb(P)($probabilità che il cliente arrivi$)$?
15 minuti sono la metà di 30 minuti.
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