Città e clubs

[bestiedda]

Supponiamo di avere una cittá con $n$ abitanti. In questi cittá si sono dei club, che soddisfano le seguenti regole:

1. ogni cittadino è membro di almeno un club
2. ogni club ha un numero di membri pari
3. presi due club il numero di membri che fa parte di entrambi é sempre dispari

Provare che se $n$ é dispari ci sono al massimo $n$ club, mentre se $n$ é pari ce ne sono al massimo $n-1$.

[gabriballets]

scusa se la risposta arriva qualche giorno dopo, ma mi sono appena iscritto!

Comunque è abbastanza semplice:

se $n$ è pari, il massimo numero di club che soddisfi le regole è $n-1$: basta immaginare che $n-1$ cittadini della città abbiano un club a testa e che l'ultimo cittadino sia il secondo membro di tutti questi club! Se i club potessero essere di più, si andrebbe inesorabilmente contro la regola 3!

se $n$ è dispari, il massimo dei club invece deve, per forza, essere $n$: infatti succede la stessa cosa che accade se $n$ è pari, ma in più è possibile aggiungere il club formato da tutti i cittadini tranne quello che è già in tutti gli altri club!(Ciò non era possibile con $n$ pari perchè si andava contro la regola 2)

Dico bene?