Chiarimento soluzione Probabilità
Potreste aiutarmi a capire alcune soluzioni di questo esercizio? Grazie a tutti
Si gioca alla roulette e si decide di puntare n volte sul numero 19. La probabilità di vincita di una singola puntata è p=1/37. Le giocate sono indipendenti.
a) Calcolare la probabilità di ciascuno degli eventi:¨
- A1 : “il 19 esce al decimo tentativo” Soluzione: p(A1) = $1/37$
- A2 : “il 19 non esce prima del decimo tentativo” Soluzione: p(A2) = $(1-1/37)^9$
- A3 : “il 19 esce per la prima volta al decimo tentativo” Soluzione: p(A3) = $1/37 * (1-1/37)^9$
- A4 : “nelle ultime 2 delle n giocate esce il 19” Soluzione: p(A4) = $(1/37)^2$
- A5: “il 19 esce 2 volte nelle n giocate” Soluzione: p(A5) = $((n),(2)) * (1/37)^2 * (1-1/37)^(n-2)$
- A6 : “il 19 esce almeno 1 volta nelle n giocate” Soluzione: p(A6) = $1-(1-1/37)^n$
Purtroppo non ho ben capito alcune soluzioni...
Per esempio, perchè in A1 non prende in considerazione il decimo tentativo?
Anche per A2 e A3 non capisco il ragionamento...
Si gioca alla roulette e si decide di puntare n volte sul numero 19. La probabilità di vincita di una singola puntata è p=1/37. Le giocate sono indipendenti.
a) Calcolare la probabilità di ciascuno degli eventi:¨
- A1 : “il 19 esce al decimo tentativo” Soluzione: p(A1) = $1/37$
- A2 : “il 19 non esce prima del decimo tentativo” Soluzione: p(A2) = $(1-1/37)^9$
- A3 : “il 19 esce per la prima volta al decimo tentativo” Soluzione: p(A3) = $1/37 * (1-1/37)^9$
- A4 : “nelle ultime 2 delle n giocate esce il 19” Soluzione: p(A4) = $(1/37)^2$
- A5: “il 19 esce 2 volte nelle n giocate” Soluzione: p(A5) = $((n),(2)) * (1/37)^2 * (1-1/37)^(n-2)$
- A6 : “il 19 esce almeno 1 volta nelle n giocate” Soluzione: p(A6) = $1-(1-1/37)^n$
Purtroppo non ho ben capito alcune soluzioni...
Per esempio, perchè in A1 non prende in considerazione il decimo tentativo?
Anche per A2 e A3 non capisco il ragionamento...
Risposte
Si gioca alla roulette e si decide di puntare n volte sul numero 19. La probabilità di vincita di una singola puntata è p=1/37. Le giocate sono indipendenti.
a) Calcolare la probabilità di ciascuno degli eventi:¨
- A1 : “il 19 esce al decimo tentativo” Soluzione: p(A1) = 1/37
- A2 : “il 19 non esce prima del decimo tentativo” Soluzione: p(A2) = (1-1/37)^9
- A3 : “il 19 esce per la prima volta al decimo tentativo” Soluzione: p(A3) = 1/37 * (1-1/37)^9
- A4 : “nelle ultime 2 delle n giocate esce il 19” Soluzione: p(A4) = (1/37)^2
- A5: “il 19 esce 2 volte nelle n giocate” Soluzione: p(A5) = (n,2) * (1/37)^2 * (1-1/37)^(n-2)
- A6 : “il 19 esce almeno 1 volta nelle n giocate” Soluzione: p(A6) = 1-(1-1/37)^n
Purtroppo non ho ben capito alcune soluzioni...
Per esempio, perchè in A1 non prende in considerazione il decimo tentativo?
Premessa
se le giocate sono indipendenti
la probabilita che si avverino piu eventi è dato dal prodotto delle loro probabilita (es: la probabilita che esca due volte testa su due lanci di moneta= $1/2*1/2= (1/2)^2 )$
A1: la probabilità che esca all' n-esimo tentativo è la stessa che esca al primo
A2: la probabilità che non esce al primo è $36/37$, la probabilità che non esca per 9 volte di fila è $(36/37)^9= (1-1/37)^9$
A3: devono avverarsi contemporaneamente A1 ed A2 perche deve uscire al decimo e non deve essere uscito prima:
(1-1/37)^9 * 1/37
A4: che esca alla n-esima= $1/37$ (come detto prima) che esca alla n-esima ed (n-1)-esima insieme è (1/37)^2
A5: vuol dire che 2 volte deve uscire (con prob $1/37$) e n-2 volte non deve uscire ($36/37$)
Prob= $(1/37)^2*(36/37)^(n-2)$
A6: Calcolo la probabilita che non esca mai (complementare a che esca una volta)
Pn= $=(36/37)^n$
Probabilita= $1-(36/37)^n$
A1 non prende in considerazione che è il decimo perche, pensa di lanciare una moneta: al primo lancio che probabilita hai che esca testa? $1/2$ !
E al secondo? Sempre $1/2$ !
E al decimo? Sempre $1/2$ !
Al n-esimo? Sempre $1/2$ !
[xdom="hamming_burst"]Come ti è stato suggerito in un post recente, te lo risottolineo: sarebbe gradito che dopo un tot di messaggi e qualche mese sul forum, si utilizzino le formule. Un testo come questo è illeggibile. Bastano due $ ed hai risolto. Grazie.[/xdom]
a) Calcolare la probabilità di ciascuno degli eventi:¨
- A1 : “il 19 esce al decimo tentativo” Soluzione: p(A1) = 1/37
- A2 : “il 19 non esce prima del decimo tentativo” Soluzione: p(A2) = (1-1/37)^9
- A3 : “il 19 esce per la prima volta al decimo tentativo” Soluzione: p(A3) = 1/37 * (1-1/37)^9
- A4 : “nelle ultime 2 delle n giocate esce il 19” Soluzione: p(A4) = (1/37)^2
- A5: “il 19 esce 2 volte nelle n giocate” Soluzione: p(A5) = (n,2) * (1/37)^2 * (1-1/37)^(n-2)
- A6 : “il 19 esce almeno 1 volta nelle n giocate” Soluzione: p(A6) = 1-(1-1/37)^n
Purtroppo non ho ben capito alcune soluzioni...
Per esempio, perchè in A1 non prende in considerazione il decimo tentativo?
Premessa
se le giocate sono indipendenti
la probabilita che si avverino piu eventi è dato dal prodotto delle loro probabilita (es: la probabilita che esca due volte testa su due lanci di moneta= $1/2*1/2= (1/2)^2 )$
A1: la probabilità che esca all' n-esimo tentativo è la stessa che esca al primo
A2: la probabilità che non esce al primo è $36/37$, la probabilità che non esca per 9 volte di fila è $(36/37)^9= (1-1/37)^9$
A3: devono avverarsi contemporaneamente A1 ed A2 perche deve uscire al decimo e non deve essere uscito prima:
(1-1/37)^9 * 1/37
A4: che esca alla n-esima= $1/37$ (come detto prima) che esca alla n-esima ed (n-1)-esima insieme è (1/37)^2
A5: vuol dire che 2 volte deve uscire (con prob $1/37$) e n-2 volte non deve uscire ($36/37$)
Prob= $(1/37)^2*(36/37)^(n-2)$
A6: Calcolo la probabilita che non esca mai (complementare a che esca una volta)
Pn= $=(36/37)^n$
Probabilita= $1-(36/37)^n$
A1 non prende in considerazione che è il decimo perche, pensa di lanciare una moneta: al primo lancio che probabilita hai che esca testa? $1/2$ !
E al secondo? Sempre $1/2$ !
E al decimo? Sempre $1/2$ !
Al n-esimo? Sempre $1/2$ !
[xdom="hamming_burst"]Come ti è stato suggerito in un post recente, te lo risottolineo: sarebbe gradito che dopo un tot di messaggi e qualche mese sul forum, si utilizzino le formule. Un testo come questo è illeggibile. Bastano due $ ed hai risolto. Grazie.[/xdom]
Grazie mille, tutto abbastanza chiaro!
Allora non si prende in considerazione il numero di tentativi perchè è si è unicamente interessati alla
probabilità che accada l'evento?
Però per A4 non ho ben capito cosa indichi la scrittura "n-1" (n-1 esima), come in A5 per "n-2"...
Allora non si prende in considerazione il numero di tentativi perchè è si è unicamente interessati alla
probabilità che accada l'evento?
Però per A4 non ho ben capito cosa indichi la scrittura "n-1" (n-1 esima), come in A5 per "n-2"...
In A4: immagina di che le giocate siano 25. io ho detto che esca alla n-esima= $1/37$ (come detto prima) che esca alla n-esima ed (n-1)-esima insieme è $(1/37)^2$. Cioè alla 25esima giocata abbiamo $1/37$ e alla 24esima (se n=25, 24=n-1, quindi n-1esima) sempre $1/37$ e la probabilità che avvengano entrambe è data dal loro prodotto. Cioè $ (1/37) * (1/37) = (1/37)^2$
In A5: ti parla sempre di n giocate, immagina che siano ancora 25. Allora il numero deve uscire 2 volte (con probabilita che esca pari a $1/37$) e 23 (= 25-2 = n-2) volte NON deve uscire (questo perche ha detto che deve uscire solo due volte e non almeno due volte) e la probabilità che non esca è di $36/37$. Quindi la probabilita che si avverino le due uscite e le 23 (n-2) non-uscite è data dal loro prodotto. Quindi risulta $(1/37)^(2) * (36/37)^(23)$. Che generalizzata con n giocate diventa $(1/37)^(2) * (36/37)^(n-2)$
Chiaro ora?
Ps: chiedo ancora scusa per le formule scritte male ma non ci ho pensato. Pensavo solo a rispondere.
In A5: ti parla sempre di n giocate, immagina che siano ancora 25. Allora il numero deve uscire 2 volte (con probabilita che esca pari a $1/37$) e 23 (= 25-2 = n-2) volte NON deve uscire (questo perche ha detto che deve uscire solo due volte e non almeno due volte) e la probabilità che non esca è di $36/37$. Quindi la probabilita che si avverino le due uscite e le 23 (n-2) non-uscite è data dal loro prodotto. Quindi risulta $(1/37)^(2) * (36/37)^(23)$. Che generalizzata con n giocate diventa $(1/37)^(2) * (36/37)^(n-2)$
Chiaro ora?
Ps: chiedo ancora scusa per le formule scritte male ma non ci ho pensato. Pensavo solo a rispondere.
Si grazie mille, adesso è chiaro!
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