Chiarimento esercizio probabilità
Salve a tutti, volevo proporvi questo esercizio di probabilità di cui non sono riuscito a capire la soluzione.
"Siano X e Y variabili aleatorie assolutamente continue ed indipendenti tra loro. Y ha una distribuzione uniforme in [0, 2], mentre X ha la seguente densità di probabilità $ 3/8 x^2 $ nell'intervallo [0,2]. Trovare la distribuzione di Z = XY"
Innanzitutto determino la densità di Y: sapendo che è uniforme, k sarà pari a 1/2 (perché l'integrale da meno infinito a più infinito di una densità deve fare 1)
X e Y sono indipendenti, il prodotto delle loro densità fornisce la congiunta delle due variabili: $ 3/16 x^2 $
Volendo calcolare la probabilità che Z < t, devo imporre che $ P(Z
La soluzione suggerisce di calcolare 1- $ P(Y> t/X) $ , che sarebbe $ 1- int_(t/2)^(2) dx int_(t/x)^(2) 3/16 x^2 dx $
Ora mia chiedo: perché fa questa cosa? Praticamente sta calcolando l'area tra l'iperbole e il quadrato (sopra l'iperbole), mentre io avrei calcolato l'area tra l'iperbole e il quadrato (sotto l'iperbole).
Inoltre: perché l'integrale di x parte proprio da t/2? Quello di y ci sto perché Y = t/x, tuttavia non capisco perché la x vada da t/2 a 2.
Grazie mille in anticipo per il vostro aiuto
"Siano X e Y variabili aleatorie assolutamente continue ed indipendenti tra loro. Y ha una distribuzione uniforme in [0, 2], mentre X ha la seguente densità di probabilità $ 3/8 x^2 $ nell'intervallo [0,2]. Trovare la distribuzione di Z = XY"
Innanzitutto determino la densità di Y: sapendo che è uniforme, k sarà pari a 1/2 (perché l'integrale da meno infinito a più infinito di una densità deve fare 1)
X e Y sono indipendenti, il prodotto delle loro densità fornisce la congiunta delle due variabili: $ 3/16 x^2 $
Volendo calcolare la probabilità che Z < t, devo imporre che $ P(Z
La soluzione suggerisce di calcolare 1- $ P(Y> t/X) $ , che sarebbe $ 1- int_(t/2)^(2) dx int_(t/x)^(2) 3/16 x^2 dx $
Ora mia chiedo: perché fa questa cosa? Praticamente sta calcolando l'area tra l'iperbole e il quadrato (sopra l'iperbole), mentre io avrei calcolato l'area tra l'iperbole e il quadrato (sotto l'iperbole).
Inoltre: perché l'integrale di x parte proprio da t/2? Quello di y ci sto perché Y = t/x, tuttavia non capisco perché la x vada da t/2 a 2.
Grazie mille in anticipo per il vostro aiuto
Risposte
beh intanto non calcoli né l'area sotto né l'area sopra...stai calcolando un integrale doppio su quel dominio che geometricamente corrisponde al volume del solido che ha per base l'area cui tu ti riferisci.
La ratio del suggerimento è che così facendo fai meno conti. Le due soluzioni sono comunque equivalenti dato che il volume su tutto il dominio (è una densità di probabiltà) fa uno.
$F_(T)(t)=int_(0)^(t/2)dxint_(0)^(2)f(x,y)dy+int_(t/2)^(2)int_(0)^(t/x)f(x,y)dy=1-int_(t/2)^(2)dxint_(t/x)^(2)f(x,y)dy$
Il membro di sinistra integra la densità congiunta sull'area colorata, il membro di destra fa 1 meno l'integrale della densità sull'area bianca....
provare per credere.....EDIT: che poi in fin dei conti non si risparmia nulla...ma i calcoli con entrambe le strade sono equivalenti anche in termini di passaggi algebrici e portano ad avere
$F_(T)(t)=3/8t-1/128t^3$
Controlliamone le proprietà caratterizzanti:
$F_T(0)=0$
$F_T(4)=1$
$d/(dt) F_T>=0 AA t$
tutto a posto
se guardi il disegno dovrebbe essere evidente
$y=t/x$ se $y=2 rarr x=t/2$
fai sempre il grafico prima di impostare l'integrale e vedrai che non sbaglierai più
saluti
La ratio del suggerimento è che così facendo fai meno conti. Le due soluzioni sono comunque equivalenti dato che il volume su tutto il dominio (è una densità di probabiltà) fa uno.
$F_(T)(t)=int_(0)^(t/2)dxint_(0)^(2)f(x,y)dy+int_(t/2)^(2)int_(0)^(t/x)f(x,y)dy=1-int_(t/2)^(2)dxint_(t/x)^(2)f(x,y)dy$
Il membro di sinistra integra la densità congiunta sull'area colorata, il membro di destra fa 1 meno l'integrale della densità sull'area bianca....
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
provare per credere.....EDIT: che poi in fin dei conti non si risparmia nulla...ma i calcoli con entrambe le strade sono equivalenti anche in termini di passaggi algebrici e portano ad avere
$F_(T)(t)=3/8t-1/128t^3$
Controlliamone le proprietà caratterizzanti:
$F_T(0)=0$
$F_T(4)=1$
$d/(dt) F_T>=0 AA t$
tutto a posto
"C.Falcon":
Inoltre: perché l'integrale di x parte proprio da t/2? Quello di y ci sto perché Y = t/x, tuttavia non capisco perché la x vada da t/2 a 2.
se guardi il disegno dovrebbe essere evidente
$y=t/x$ se $y=2 rarr x=t/2$
fai sempre il grafico prima di impostare l'integrale e vedrai che non sbaglierai più
saluti
D'accordo, ti ringrazio sei stato molto gentile 
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