Chiarimenti vari: chi quadro, t di student, valore atteso
In vista del mio esame vorrei levarmi alcuni dubbi, approfitto aprendo un topic solo per fare più domande.
Per cominciare c'è un problema sul valore atteso che ho provato un bel po di volte ma non riesco proprio a capire come impostarlo:
Valore Atteso
1. Supponiamo che il tempo necessario per riparare un personal computer sia una variabile aleatoria (misurata in ore) la cui densità è data da:
f(x) = $ { ( 1/2 ),( 0 ):} $ $\frac{\text{se 0 < x < 2}}{\text{altrimenti}}$
Il costo del lavoro è una variabile: se sono necessarie x ore per la riparazione, il relativo costo è pari a $ 40+30sqrt(x) $ dollari. Calcola il valore atteso del costo di una riparazione.
Risultato
P.S.(scusate per la notazione ma devo ancora prenderci la mano non sapevo come scrivere del testo accanto ai valori nel sistema)
Chi quadro e t di Student
2. Ho capito la definizione di entrambe le distribuzioni solo che il mio libro a volte è davvero molto sintetico e non ci perde più di due paginette per distribuzione su questa parte. Non ho capito come si consultano le tabelle di entrambe le distribuzioni per risolvere i problemi che mi chiede il testo. Esempio:
Si determini $ P(X<=30) $ quando X è una variabile aleatoria chi-quadro con 26 fradi di libertà.
Il mio libro dice: Usando il programma fornito con il testo si trova immediatamente il risultato $ P(X<=30) ~~ 0.7325 $
Naturalmente all'esame non avrò il programma del testo ma la tavola dei valori assunti da $ chi_{alpha ,n}^2 $. In verticale ho gli n gradi di libertà e in orizzontale trovo i valori di $ alpha $ reale compreso tra 0 e 1. Quindi nel caso dell'esercizio precedente mi posiziono in verticale su 26 ma poi?
Stessa identica cosa con t di Student ho i valori in tabella $ t_{alpha ,n} $ e non so come svolgere esercizi del tipo:
Sia T una t di Student con 8 gradi di libertà. Trova (a) $ P(T>=1) $ (b) $ P(T<=2) $, e (c) $ P(-1 < T < 1) $
Di questi esercizi non ho i risultati quindi non saprei se avessi fatto giusto.
Media Campionaria / Teorema del limite centrale
3. Avrei bisogno di una mano per impostare due problemi che non riesco a fare, altri sono simili quindi spero che se capisco questi riuscirò a fare anche gli altri.
1° Si prendono 50 numeri, che vengono arrotondati all'intero più vicino e poi sommati tutti. Se gli errori di arrotondamento individuali sono variabili aleatorie indipendenti e uniformi su (-0.5,0.5), quanto vale approsimativamente la probabilità che la somma così ottenuta differisca da quella estratta per più di 3 unità?
2° Il numero di settimane di funzionamento di un certo tipo di batterie è una variabile aleatoria con media 5 e deviazione standard 1.5. Qunado una batteria si esaurisce, viene immediatamente sostituita con una nuova. Calcola approssimativamente la probabilità che in un anno si debbano impiegare 13 o più batterie.
Risultati
Grazie in anticipo per l'aiuto
Per cominciare c'è un problema sul valore atteso che ho provato un bel po di volte ma non riesco proprio a capire come impostarlo:
Valore Atteso
1. Supponiamo che il tempo necessario per riparare un personal computer sia una variabile aleatoria (misurata in ore) la cui densità è data da:
f(x) = $ { ( 1/2 ),( 0 ):} $ $\frac{\text{se 0 < x < 2}}{\text{altrimenti}}$
Il costo del lavoro è una variabile: se sono necessarie x ore per la riparazione, il relativo costo è pari a $ 40+30sqrt(x) $ dollari. Calcola il valore atteso del costo di una riparazione.
Risultato
P.S.(scusate per la notazione ma devo ancora prenderci la mano non sapevo come scrivere del testo accanto ai valori nel sistema)
Chi quadro e t di Student
2. Ho capito la definizione di entrambe le distribuzioni solo che il mio libro a volte è davvero molto sintetico e non ci perde più di due paginette per distribuzione su questa parte. Non ho capito come si consultano le tabelle di entrambe le distribuzioni per risolvere i problemi che mi chiede il testo. Esempio:
Si determini $ P(X<=30) $ quando X è una variabile aleatoria chi-quadro con 26 fradi di libertà.
Il mio libro dice: Usando il programma fornito con il testo si trova immediatamente il risultato $ P(X<=30) ~~ 0.7325 $
Naturalmente all'esame non avrò il programma del testo ma la tavola dei valori assunti da $ chi_{alpha ,n}^2 $. In verticale ho gli n gradi di libertà e in orizzontale trovo i valori di $ alpha $ reale compreso tra 0 e 1. Quindi nel caso dell'esercizio precedente mi posiziono in verticale su 26 ma poi?
Stessa identica cosa con t di Student ho i valori in tabella $ t_{alpha ,n} $ e non so come svolgere esercizi del tipo:
Sia T una t di Student con 8 gradi di libertà. Trova (a) $ P(T>=1) $ (b) $ P(T<=2) $, e (c) $ P(-1 < T < 1) $
Di questi esercizi non ho i risultati quindi non saprei se avessi fatto giusto.
Media Campionaria / Teorema del limite centrale
3. Avrei bisogno di una mano per impostare due problemi che non riesco a fare, altri sono simili quindi spero che se capisco questi riuscirò a fare anche gli altri.
1° Si prendono 50 numeri, che vengono arrotondati all'intero più vicino e poi sommati tutti. Se gli errori di arrotondamento individuali sono variabili aleatorie indipendenti e uniformi su (-0.5,0.5), quanto vale approsimativamente la probabilità che la somma così ottenuta differisca da quella estratta per più di 3 unità?
2° Il numero di settimane di funzionamento di un certo tipo di batterie è una variabile aleatoria con media 5 e deviazione standard 1.5. Qunado una batteria si esaurisce, viene immediatamente sostituita con una nuova. Calcola approssimativamente la probabilità che in un anno si debbano impiegare 13 o più batterie.
Risultati
Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
Sulla prima credo di saperti dire: il valore atteso di una funzione \(g(X)\) di variabile aleatoria con distribuzione continua è\[E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\text{d}x\]Che è uguale, nel tuo caso, tenendo conto di dove $f$ è nulla, a $\int_{0}^{2}1/2(40+30\sqrt{x})\text{d}x=40+20\sqrt{2}$.
Per gli altri punti aspettiamo chi non è alle prime armi con la statistica come me...
Per gli altri punti aspettiamo chi non è alle prime armi con la statistica come me...
Grazie, immaginavo fosse una cosa stupida. Mi era sfuggita la formula $ E[g(X)]= int_(−∞)^(+∞) g(x)f(x) dx $ avevo provato con la classica $ E(X)= int_(−∞)^(+∞) x f(x) dx $. Spero che qualcuno mi sappia dare una dritta anche sugli altri quesiti.
"inki":
Si determini $ P(X<=30) $ quando X è una variabile aleatoria chi-quadro con 26 fradi di libertà.
ti ricordo che $P(X<=x) = \alpha$ oppure $\chi_\alpha^2(27-1) = x$
utilizzi la tabella dei quantili al contrario, incroci i gradi di libertà ed il valore ci $x$ che si avvicina a $30$
"inki":
2° Il numero di settimane di funzionamento di un certo tipo di batterie è una variabile aleatoria con media 5 e deviazione standard 1.5. Qunado una batteria si esaurisce, viene immediatamente sostituita con una nuova. Calcola approssimativamente la probabilità che in un anno si debbano impiegare 13 o più batterie.
la citofonata all'approssimazione normale è palese.
Si dovrebbe leggere come trovare la probabilità che in un anno (52 settimane), 13 batterie non sono sufficienti, quindi che al più 12 lo siano.
\[P(X_1 + ... + X_{12} \leq 52) \simeq \phi\Big(\frac{52 - 12*5}{1.5*\sqrt{12}}\Big) \approx \phi(-1.54)\]
gli altri sono simili.
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