Chiarimenti su Teorema del Limite Centrale
Salve a tutti ragazzi, ho un problema con il TLC (teorema del limite centrale).
A lezione abbiamo visto l'enunciato (il programma non prevede le mgf, saltata la dim), e quindi in sostanza ci stato così proposto: se ho n variabili aleatorie indipendenti fra loro ed equidistribuite, ciascuna di media $ mu $ e varianza $ sigma ^2 $ allora la loro somma tende ad una gaussiana di parametri media $ n mu $ e varianza $ n sigma ^2 $ . Su questo ci siamo. Ora sono di fronte ad esercizi relativi agli intervalli di confidenza, la prof ci ha proposto questo esempio:
"Ai fini del controllo statistico di un processo produttivo, sono stati prelevati n=50 esemplari di prodotto trovandone 5 difettosi. Una stima corretta della frazione di difettosi prodotta è $ tilde(p) = 5/50=0.1 $ . Vogliamo valutarne l'intervallo di confidenza al livello $ 1-alpha=95% $ ".
Siamo di fronte ad n Bernoulliane (poi sommando una Binomiale) e con il TLC possiamo passare alla Gaussiana e utilizzare l'ancillare Gaussiana standard. Il prof ci indica: $ Be (n,p)rarr N(p,(p(1-p))/n) $ grazie al TLC.
Non ho proprio ben capito tale trasformazione, perché quella Gaussiana avrà quei parametri? Potete aiutarmi?
A lezione abbiamo visto l'enunciato (il programma non prevede le mgf, saltata la dim), e quindi in sostanza ci stato così proposto: se ho n variabili aleatorie indipendenti fra loro ed equidistribuite, ciascuna di media $ mu $ e varianza $ sigma ^2 $ allora la loro somma tende ad una gaussiana di parametri media $ n mu $ e varianza $ n sigma ^2 $ . Su questo ci siamo. Ora sono di fronte ad esercizi relativi agli intervalli di confidenza, la prof ci ha proposto questo esempio:
"Ai fini del controllo statistico di un processo produttivo, sono stati prelevati n=50 esemplari di prodotto trovandone 5 difettosi. Una stima corretta della frazione di difettosi prodotta è $ tilde(p) = 5/50=0.1 $ . Vogliamo valutarne l'intervallo di confidenza al livello $ 1-alpha=95% $ ".
Siamo di fronte ad n Bernoulliane (poi sommando una Binomiale) e con il TLC possiamo passare alla Gaussiana e utilizzare l'ancillare Gaussiana standard. Il prof ci indica: $ Be (n,p)rarr N(p,(p(1-p))/n) $ grazie al TLC.
Non ho proprio ben capito tale trasformazione, perché quella Gaussiana avrà quei parametri? Potete aiutarmi?
Risposte
Somma le $n$ Bernoulli e poi divide per $n$. Adesso la media e la varianza cosa sono?
Se le sommo $ n $ volte ottengo una binomiale, e avrebbe media $ np $ e varianza $ np(1-p) $ ah dividendo per salterebbe fuori $ p $ alla media perché è lineare, $ 1/n^2*np(1-p) $ (covarianza nulla) , giuusto! Ma divide per n perché si parla di media campionaria?
Divide per $n$ perché dice "Una stima corretta della frazione di difettosi". Frazione, non numero.
Purtroppo non riesco a capire ancora il passaggio, abbi pazienza.
Si però un po' di impegno...ti ha spiegato le stesse cose 4 volte ..
Il TLC applicato alla binomiale (che si chiama teorema di De Moivre Laplace e che trovi spiegato ovunque) è il seguente:
$(Sigma_i X_i- np)/(sqrt(np(1-p)))~Phi$
Stop. Vuoi dividere tutto per n? Non cambia nulla, trovi
$(bar(X)_n- p)/(sqrt(p(1-p)))sqrt(n)~Phi$
Puoi fare come preferisci, la distribuzione quella è...ed il risultato non cambia
Inoltre il tuo esercizio poco ha a che vedere con il TLC ma con gli intervalli di confidenza sulla proporzione. Il TLC qui è solo una giustificazione all'applicazione della formula nota
Vedi qui, pagg 7 e seguenti
Il TLC applicato alla binomiale (che si chiama teorema di De Moivre Laplace e che trovi spiegato ovunque) è il seguente:
$(Sigma_i X_i- np)/(sqrt(np(1-p)))~Phi$
Stop. Vuoi dividere tutto per n? Non cambia nulla, trovi
$(bar(X)_n- p)/(sqrt(p(1-p)))sqrt(n)~Phi$
Puoi fare come preferisci, la distribuzione quella è...ed il risultato non cambia
Inoltre il tuo esercizio poco ha a che vedere con il TLC ma con gli intervalli di confidenza sulla proporzione. Il TLC qui è solo una giustificazione all'applicazione della formula nota
Vedi qui, pagg 7 e seguenti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo