Certi esercizi di probab. sembrano elemantari, ma talvolta..
In un gioco sono date due urne esternamente indistinguibili (se non, almeno in questo esercizio, per la posizione sul tavolo), in una il giocatore sa di contenere palline bianche e nere nel rapporto $\p=(B_i_a)/(B_i_a+N_e_r)$, nell'altra solo palline nere.
Il gioco è vincente se il giocatore indovina qual'è l'urna contenente le palline bianche.
Il giocatore sa di disporre solo di $\n$ possibili ma libere estrazioni con reimmissione della pallina nella stessa urna da cui viene estratta. Spese invano le estrazioni, non gli rimane che un'ultima possibilità (se non l'ha già usata chiudendo già prima il gioco senza successo) : scegliere a caso una delle due urne, per l'unica volta possibile, e... sperare nella fortuna.
Le domande sono:
1) qual'è la strategia da usare per muoversi lungo la via che il giocatore ritiene essere quella di massima probabilità di successo
2) qual'è la probabilità di successo seguendo la suddetta via ottimale (esprimere questo valore con una formula)
3) ma esiste effettivamente una via migliore delle altre?
4) in relazione al valore di $\p$ puo o no accadere che sia più conveniente anticipare la scelta casuale e speranzosa dell'urna ancorchè tutte, parte o nessuna delle $\n$ estrazioni siano state utilizzate.
Per quanto mi riguarda sto scrivendo un programma in qbasic per anticiparmi la soluzione del problema col metodo di Montecarlo. Una volta in possesso dei dati empirici li verificherò per la via analitica (ignominiosamente non ancora affrontata seriamente, come vorrebbe l'etica di chi propone problemi), che di primo acchito non mi sembra ardua, così come richiesto dall'esercizio.
Grazie
Il gioco è vincente se il giocatore indovina qual'è l'urna contenente le palline bianche.
Il giocatore sa di disporre solo di $\n$ possibili ma libere estrazioni con reimmissione della pallina nella stessa urna da cui viene estratta. Spese invano le estrazioni, non gli rimane che un'ultima possibilità (se non l'ha già usata chiudendo già prima il gioco senza successo) : scegliere a caso una delle due urne, per l'unica volta possibile, e... sperare nella fortuna.
Le domande sono:
1) qual'è la strategia da usare per muoversi lungo la via che il giocatore ritiene essere quella di massima probabilità di successo
2) qual'è la probabilità di successo seguendo la suddetta via ottimale (esprimere questo valore con una formula)
3) ma esiste effettivamente una via migliore delle altre?
4) in relazione al valore di $\p$ puo o no accadere che sia più conveniente anticipare la scelta casuale e speranzosa dell'urna ancorchè tutte, parte o nessuna delle $\n$ estrazioni siano state utilizzate.
Per quanto mi riguarda sto scrivendo un programma in qbasic per anticiparmi la soluzione del problema col metodo di Montecarlo. Una volta in possesso dei dati empirici li verificherò per la via analitica (ignominiosamente non ancora affrontata seriamente, come vorrebbe l'etica di chi propone problemi), che di primo acchito non mi sembra ardua, così come richiesto dall'esercizio.
Grazie
Risposte
"adaBTTLS":Per Ada
se ne hai voglia, ti consiglio di provare a sostituire alcuni valori numerici a p e ad n, anche molto diversi tra loro, e fare una tabella dei risultati.
io ora non ho molto tempo, però forse più in là mi ci divertirei un po'... se non posti prima i tuoi risultati...
ciao.
le cinque colonne di risultati si riferisono a cinque diversi valori di p, da 0,2 ad 1
Con excel ho compilato la tabella sottostante. Nella prima colonna il valore di n1 da 1 a 20
Si dimostra che il massimo si ha con n1= n/2.
n1 valori di p da 0,2 a 1,0 per ogni colonna di risultati sottostante (la riga per n1=0 è stata omessa
1 0,8981986 0,9249924 0,9500000 0,9750000 1,0000000
2 0,9177482 0,9549873 0,9800000 0,9950000 1,0000000
3 0,9331853 0,9729788 0,9920000 0,9990000 1,0000000
4 0,9452816 0,9837647 0,9967999 0,9998000 1,0000000
5 0,9546420 0,9902212 0,9987199 0,9999600 1,0000000
6 0,9617344 0,9940700 0,9994877 0,9999920 1,0000000
7 0,9669137 0,9963375 0,9997944 0,9999984 1,0000000
8 0,9704385 0,9976284 0,9999160 0,9999997 1,0000000
9 0,9724854 0,9982868 0,9999620 0,9999999 1,0000000
10 0,9731565 0,9984883 0,9999738 1,0000000 1,0000000
11 0,9724854 0,9982868 0,9999620 0,9999999 1,0000000
12 0,9704385 0,9976284 0,9999160 0,9999997 1,0000000
13 0,9669137 0,9963375 0,9997944 0,9999984 1,0000000
14 0,9617344 0,9940700 0,9994877 0,9999920 1,0000000
15 0,9546420 0,9902212 0,9987199 0,9999600 1,0000000
16 0,9452816 0,9837647 0,9967999 0,9998000 1,0000000
17 0,9331853 0,9729788 0,9920000 0,9990000 1,0000000
18 0,9177482 0,9549873 0,9800000 0,9950000 1,0000000
19 0,8981986 0,9249924 0,9500000 0,9750000 1,0000000
20 0,8735588 0,8749954 0,8750000 0,8750000 1,0000000
"mariodic":Per Ada
[quote="adaBTTLS"]se ne hai voglia, ti consiglio di provare a sostituire alcuni valori numerici a p e ad n, anche molto diversi tra loro, e fare una tabella dei risultati.
io ora non ho molto tempo, però forse più in là mi ci divertirei un po'... se non posti prima i tuoi risultati...
ciao.
le cinque colonne di risultati si riferisono a cinque diversi valori di p, da 0,2 ad 1
Con excel ho compilato la tabella sottostante. Nella prima colonna il valore di n1 da 1 a 20
Si dimostra che il massimo si ha con n1= n/2.
n1 valori di p da 0,2 a 1,0 per ogni colonna di risultati sottostante (la riga per n1=0 è stata omessa
1 0,8981986 0,9249924 0,9500000 0,9750000 1,0000000
2 0,9177482 0,9549873 0,9800000 0,9950000 1,0000000
3 0,9331853 0,9729788 0,9920000 0,9990000 1,0000000
4 0,9452816 0,9837647 0,9967999 0,9998000 1,0000000
5 0,9546420 0,9902212 0,9987199 0,9999600 1,0000000
6 0,9617344 0,9940700 0,9994877 0,9999920 1,0000000
7 0,9669137 0,9963375 0,9997944 0,9999984 1,0000000
8 0,9704385 0,9976284 0,9999160 0,9999997 1,0000000
9 0,9724854 0,9982868 0,9999620 0,9999999 1,0000000
10 0,9731565 0,9984883 0,9999738 1,0000000 1,0000000
11 0,9724854 0,9982868 0,9999620 0,9999999 1,0000000
12 0,9704385 0,9976284 0,9999160 0,9999997 1,0000000
13 0,9669137 0,9963375 0,9997944 0,9999984 1,0000000
14 0,9617344 0,9940700 0,9994877 0,9999920 1,0000000
15 0,9546420 0,9902212 0,9987199 0,9999600 1,0000000
16 0,9452816 0,9837647 0,9967999 0,9998000 1,0000000
17 0,9331853 0,9729788 0,9920000 0,9990000 1,0000000
18 0,9177482 0,9549873 0,9800000 0,9950000 1,0000000
19 0,8981986 0,9249924 0,9500000 0,9750000 1,0000000
20 0,8735588 0,8749954 0,8750000 0,8750000 1,0000000[/quote]La formula cha dà i dati si quasta tabella confesso che non mi convince del tutto, tuttavia, per ora, questo non è importante. Supponiamo che questa funzione sia corretta e che essa sia $\p(bianco)=F(p,n,n_1)$, orbene, poiche' la funzione ci fa rispondere alla domanda: "considerato che il problema consiste solo nell'identificare quale delle due urne contiene palline bianche e nere, sicchè la si possa scegliere vincendo, quale probabilità ho, disponendo di n possibili estrazioni, di giungere alla certezza?".Considerata , dunque, buona la probabilita' calcolata con F, procedo alle estrazioni secondo il piano di estrazioni stabilito. Falliti gli n tentativi (essendo uscite tutte palline nere) mi rimane solo la scelta alla cieca di una delle due urne, Ma proprio alla cieca? Infatti, supposto n=10, potrei aver diviso le 10 estrazioni, p. es., 3 da un urna e 7 dall'altra, quindi non sarei completamente nudo di fronte alla situazione creatasi, per esempio, potrei dichiarare "tutta nera" la scatola dove ho estratto 7 esiti neri, evidentemente piu' probabile, rispetta all'altra scatola, quindi piu' probabile per la vincita. Si tratta, allora, di determinare anche la probabilita' di successo condizionata al mio stato di conoscenza acquisito dopo le estrazioni tutte nere.
grazie.
questi esiti, se non sbaglio, sono tutti con n=20, e visto che non c'è perfetta simmetria n1 è il numero di estrazioni dall'urna che contiene palline bianche (che però non si conosce), ed i risultati scritti sono le probabilità di successo, usando la tua formula finale, con p=0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 ? [0.5 no?]
visto che non si conosce l'urna contenente palline bianche e vista questa prima parte dei risultati, sarebbe interessante ripetere il procedimento, limitandosi a n1=0, n/2, n, variando però n (mantenendo i diversi valori di p).
[a proposito, perché hai tolto la riga di n1=0 ? anche se sono tutte nere la funzione finale doveva essere significativa!]
se hai già il programma, non dovrebbe essere difficile. che ne dici?
ciao.
questi esiti, se non sbaglio, sono tutti con n=20, e visto che non c'è perfetta simmetria n1 è il numero di estrazioni dall'urna che contiene palline bianche (che però non si conosce), ed i risultati scritti sono le probabilità di successo, usando la tua formula finale, con p=0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 ? [0.5 no?]
visto che non si conosce l'urna contenente palline bianche e vista questa prima parte dei risultati, sarebbe interessante ripetere il procedimento, limitandosi a n1=0, n/2, n, variando però n (mantenendo i diversi valori di p).
[a proposito, perché hai tolto la riga di n1=0 ? anche se sono tutte nere la funzione finale doveva essere significativa!]
se hai già il programma, non dovrebbe essere difficile. che ne dici?
ciao.
"adaBTTLS":Cara Ada,
grazie.
questi esiti, se non sbaglio, sono tutti con n=20, e visto che non c'è perfetta simmetria n1 è il numero di estrazioni dall'urna che contiene palline bianche (che però non si conosce), ed i risultati scritti sono le probabilità di successo, usando la tua formula finale, con p=0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 ? [0.5 no?]
visto che non si conosce l'urna contenente palline bianche e vista questa prima parte dei risultati, sarebbe interessante ripetere il procedimento, limitandosi a n1=0, n/2, n, variando però n (mantenendo i diversi valori di p).
[a proposito, perché hai tolto la riga di n1=0 ? anche se sono tutte nere la funzione finale doveva essere significativa!]
se hai già il programma, non dovrebbe essere difficile. che ne dici?
ciao.
la formula da me scritta, precisamente $\p_(_b_i_a_n_c_o_)=1-(q^n_1+q^(n-n1))/8$ è palesemente simmetrica. Non ho scritto,nella tabella del mio precedente post, la riga per n1=0, tuttavia essa è identica alla riga n1=20 come si si evince immediatamente guardando la formula. Effettivamente non ho riportato la riga con p=.5, la scrivo qui sotto:
valore di p valore di p(bianco)
0 0.8750000
1 0.9374998
2 0.9687495
3 0.9843740
4 0.9968994
5 0.9960899
6 0.9980393
7 0.9990082
8 0.9994812
9 0.9996948
10 0.9997559
11 0.9996948
12 0.9994812
.........................................seguono valori simmetrici ai precedenti fino a...
20 0.8750000
NOTA: Se q=0, cioè tutte le palline in gioco fossere bianche in entrambe le urne, si avrebbe, per n1=0 o 20 e assumendo 0^0=1, $\p_(_b_i_a_n_c_o_)=1-(0^0+0^20)/8=.875 $ anzichè 1; assumendo, invece, 0^0=0 (che ritengo errato) allora il computo della formula darebbe p(bianco)=1! che sarebbe esatto visto che non vi sono palline nere in giro, come la mettiamo? Sarà errata la mia formula oppure non è formalmente corretto che 0^0=1 o lo è solo il limite della funzione x^x (per x->0) che dà 1?
hai sbagliato il calcolo: (0+0)/8=0
non so se vada perfezionata, ma quest'uguaglianza è vera!
ciao.
non so se vada perfezionata, ma quest'uguaglianza è vera!
ciao.
"adaBTTLS":Scusa, Ada, nella formula scritta in blu al numeratore c'è $\0^0+0^20$, se si accetta che $\0^0=0$ segue che $\1-(0+0)/8=1$ (che ha senso), se invece si accetta che $\0^0=1$ (come dicono i sacri testi) allora la formula stessa darebbe 0 vale a dire che la probabilità di pescare bianco da un mondo di sole palline bianche e 0! Ciò mi fa dubitare della giustezza del mio ragionamento e, quindi, della mia formula.
hai sbagliato il calcolo: (0+0)/8=0
non so se vada perfezionata, ma quest'uguaglianza è vera!
ciao.
secondo me, prima di scrivere 0^0 devi sapere che cosa va inteso. se è "zero fisso", l'esponente non lo devi considerare, anche perché 0^0 non ha senso in algebra... e qui sono conti algebrici. se vuoi applicare la formula alla lettera, allora devi rassegnarti al fatto che non è valida per n1=0 (era n1, vero?)
quindi per n1=0 devi prendere semplicemente 1, se è così secondo la tua interpretazione.... però non ti dice nulla sulla giustezza degli altri casi, almeno non in maniera banale.
ciao. successivamente ci riproverò anch'io, ma ora non è il caso.
quindi per n1=0 devi prendere semplicemente 1, se è così secondo la tua interpretazione.... però non ti dice nulla sulla giustezza degli altri casi, almeno non in maniera banale.
ciao. successivamente ci riproverò anch'io, ma ora non è il caso.
"adaBTTLS":In effetti supporre q=o (quindi p=0) travisa le condizioni del problema che specifica che un'urna ha tutti nei e l'altra bianchi e neri, quindi p e q diversi da zero e uno.
secondo me, prima di scrivere 0^0 devi sapere che cosa va inteso. se è "zero fisso", l'esponente non lo devi considerare, anche perché 0^0 non ha senso in algebra... e qui sono conti algebrici. se vuoi applicare la formula alla lettera, allora devi rassegnarti al fatto che non è valida per n1=0 (era n1, vero?)
quindi per n1=0 devi prendere semplicemente 1, se è così secondo la tua interpretazione.... però non ti dice nulla sulla giustezza degli altri casi, almeno non in maniera banale.
ciao. successivamente ci riproverò anch'io, ma ora non è il caso.
ah, quindi, erano p e q!
certo, perché rende il problema banale e la formula non è applicabile.
p=0 rende uguali le due urne e il problema non ha soluzione.
però potrebbe essere interessante se prendessi p <<1, considerando che c'è in tutto un'unica pallina bianca... allora sì che potrebbero venirne fuori delle belle!
[ho usato << per dire "molto minore", in questo caso molto vicino a zero anche se non proprio zero]
p=1 potrebbe essere interessante nel confronto dell'unico caso in cui peschi sempre dall'urna che non contiene palline bianche, ma nel caso tu dovessi decidere se cambiare o no, puoi scegliere senza conoscere la probabilità?
la risposta forse è data dal caso precedente: io proverei con p=0.05, p=0.5, p=0.95 (1, 10, 19 palline su 20).
ciao.
certo, perché rende il problema banale e la formula non è applicabile.
p=0 rende uguali le due urne e il problema non ha soluzione.
però potrebbe essere interessante se prendessi p <<1, considerando che c'è in tutto un'unica pallina bianca... allora sì che potrebbero venirne fuori delle belle!
[ho usato << per dire "molto minore", in questo caso molto vicino a zero anche se non proprio zero]
p=1 potrebbe essere interessante nel confronto dell'unico caso in cui peschi sempre dall'urna che non contiene palline bianche, ma nel caso tu dovessi decidere se cambiare o no, puoi scegliere senza conoscere la probabilità?
la risposta forse è data dal caso precedente: io proverei con p=0.05, p=0.5, p=0.95 (1, 10, 19 palline su 20).
ciao.
"adaBTTLS":E' chiaro che per p>0 (non importa di quanto piccola o grande) il problema non è banale perchè, in fondo, si vince "indovinando" comunque l'urna BN. Nel caso di p=1 il problema vale sempre poichè il giocatore sa il valore di p ma non sa quale sia l'urna buona.
però potrebbe essere interessante se prendessi p <<1, considerando che c'è in tutto un'unica pallina bianca... allora sì che potrebbero venirne fuori delle belle!
[ho usato << per dire "molto minore", in questo caso molto vicino a zero anche se non proprio zero]
p=1 potrebbe essere interessante nel confronto dell'unico caso in cui peschi sempre dall'urna che non contiene palline bianche, ma nel caso tu dovessi decidere se cambiare o no, puoi scegliere senza conoscere la probabilità?
la risposta forse è data dal caso precedente: io proverei con p=0.05, p=0.5, p=0.95 (1, 10, 19 palline su 20).
ciao.
Per rispondere all'ultimo rigo del tuo post dico che i risultati per p=0.5 sono statio esposti nella tabella ultima che ho riportato due miei post fà. Quanto al provare con p=0.05 o p=0.95 (valori simmetrici che danno una p(bianco) uguale, visto che me lo chiedi qui te la scrivo
n1----------> p(bianco)
_________________________________________
1----------------> 0.9834080
3----------------> 0.9840563
5----------------> 0.9845366
7----------------> 0.9848540
9----------------> 0.9850119
10----------------> 0.9850119
13----------------> 0.9848540 così di seguito, per simmetria fino a n1=19 a cui corrisponde 09834080.
Non so se questa tabella ti sia di utilità, ricordo solo che con le n estrazioni, variamente suddivise in n1 e n-n1, si ottiene solo la maggior probabilità di vedere apparire una pallina bianca e così individuare l'urna fortunata; in mancanza di successo il giocatore sapeva in anticipo che avrebbe potuto contare sull'ultima occasione per non perdere: scegliere a caso un urna (urna che potrebbe essere stata scelta in partenza con una probabilità di vincere pari a 1/2. Se non lo ha fatto poteva calcolare la probabilità definitiva di vincere cioà la probabilità composta data da $\p*p_(_b_i_a_n_c_o_)=p*(1-(q^n_1+q^(n-n_1))/2)$ (ved. nota correttiva appresso).Per "p" piccola il senso pratico ci suggerrirebbe di rinunciare alle estrazioni "n" (che in un gioco a denar avrebbero un costo) e decidere per una scelta a caso; orbene, dato il p (piccolo) noto come verificare per una tale decisione? La risposta dovrebbe trovarsi in questo confronto algebrico:
$\0.5>p*(1-(2q^(n/2))/2)$ (nota, in questa formula l'ultima divisione per 8, valore errato, è ora diventata divisione per 2)
si tratta del confronto tra la probabilità 1/2 della mera scommessa su un urna a caso e la probabilità composta p*p(bianco)(max). risolvendo l'equazione $\0.5=p*(1-(2q^(n/2))/2)$ troveremmo un p(confine) tra l'equivalenza delle sue scelte per un n dato.
quest'ultima cosa che hai scritto mi ha spinto a tradurre il tutto con questa funzione:
$f(q)=q^(n/2+1)-q^(n/2)-4q+2$
che però andrebbe confrontata con un'altra....
ciao.
$f(q)=q^(n/2+1)-q^(n/2)-4q+2$
che però andrebbe confrontata con un'altra....
ciao.
"adaBTTLS":O.K., la funzione che hai scritto deve essere uguale a zero per qualsiasi q e qualsiasi n. Se risolviamo l'equazione in q (e quindi in p) abbiamo il q(n) (cioè p(n)) limite che separa l'insieme dei p per le quali c'è convenienza ad eseguire le estrazioni sperando che si estragga un bianco dall'altro insieme di p(n) che conviene scegliere a caso un urna con probabilità 1/2 di vincere. Non ci vuol molto per capire che quest'ultima eventualità può sussistere se p è molto piccolo. Per esempio, nel caso di n=20 la soluzione dell'equazione, reale, positiva e < di 1 è: p=0.50012. Purtroppo questa p non è così piccola ma, se la mia formula è corretta, 1/2 -vale a dire un urna con metà bianco e metà nero- sarebbe la probabilità limite al disotto della quale non conviene estrarre palline per decidere. Ci credo poco! Supponiamo che la mia formula contenga un errore e che la formula corretta sia:
quest'ultima cosa che hai scritto mi ha spinto a tradurre il tutto con questa funzione:
$f(q)=q^(n/2+1)-q^(n/2)-4q+2$
che però andrebbe confrontata con un'altra....
ciao.
$\1/2=(1-q)*(1-(2*q(n/2))/4)$
piuttosto che
$\1/2=(1-q)*(1-(2*q(n/2))/8)$
con questa formula si ha che il confine p(n=20)=0 (ovvero 0+ un delta infinitesimo) dal momento che n/2, per n=20, è un esponente grande da comprimere quasi a zero q^n. Francamente questa formula mi sembra più realistica dell'altra; per n=2 avremmo q=1 cioè p=0, allo stesso risultato si arriva con n=4. Rimango sempre perplesso per la cruda discordanza dell'esito matematica col senso pratico.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo