CDF e pdf di una coppia di variabili aleatorie

[Alukard990]

Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti distribuite nell'intervallo $(0,1)$ e $(0, 1/10)$ ossia $X~ UNIF(0,1)$ e $Y~UNIF(0, 1/10)$. Si consideri la terza variabile aleatorie $Z=X+Y$. Calcolare pdf e CDF della coppia $(X,Z)$ identificando il dominio al di fuori del quale tali funzioni siano identicamente nulle.

La mia difficoltà è proprio nel calcolo di queste funzioni. So calcolare la pdf di Z attraverso la convoluzione delle pdf di X e Y, ma su quella congiunta sto trovando difficoltà. Qualcuno mi può dare una mano?

[Alukard990]

Ci proverò subito e ti faccio sapere. Grazie per l'input.

[Alukard990]

Grazie per le dispense! Ho svolto l'esercizio e vorrei un riscontro, magari ho commesso errori:

Ho applicato la trasformazione $W=X$ e $Z=X+Y$ ed imposto il relativo sistema, calcolato $J(x,y)=(partial(z,w))/(partial(x,y))= ( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) )$, usato la formula nota $f_(WZ)(w,z)=sum_(i)(f_(XY)(x_i,y_i))/|detJ(x_i,y_i)|=10$ se $(w,z) in RR^2 : 0<=w<=1,w<=z<=w+1/10$ e 0 altrove ma $W=X$ e quindi $f_(WZ)(w,z)=f_(XZ)(x,z)$.

Per la CDF non sono sicuro di aver fatto bene, ho trovato questa

$F_(XZ)(x,z)=0$ se $ x<=0 ^^ z<=x$ , $F_(XZ)(x,z)=10x(z-x)$ se $0=1 ^^z>=x+1/10$

[Alukard990]

Era per far vedere la formula, ovviamente era facile perchè non c'era bisogno di usare la sommatoria visto che esiste una sola soluzione dal sistema di equazioni posto. Comunque grazie ancora