Catene di Markov - probabilità di stato

[method_nfb]

Salve a tutti ho un problema riguardo le catene di Markov.
supponiamo di avere una matrice di transizione: $ P(0) $ che indica le probabilià di transizione iniziali
e si deve trovare la probabilità che: in un determinato istante $k$ il sistema si trovi nello stato $S$
tramite le probabilità totali possiamo dimostrare che ogni elemento della J-esima colonna della matrice $P(0)$
rappresenta la probabilità di arrivare da un generico stato $i$ (indice di riga) allo stato $J$.
sapendo inoltre che la matrice di transizione in n passi $P(n)=[p(0)]^n$
Come posso calcolare la probabilità di trovarmi nello stato $S=j$ nell istante $t=k$ sapendo di essere partito da uno stato $S0=x$ ??

[DajeForte]

$P(S(k)=j|S(0)=x)$ lo leggi nella matrice $P^n$ nella riga corrispondente a x e nella colonna di j

[method_nfb]

"DajeForte":$P(S(k)=j|S(0)=x)$ lo leggi nella matrice $P^n$ nella riga corrispondente a x e nella colonna di j

innanzi tutto grazie della risposta...
quindi intendi dire che per ottenere $P(S(k)=j|S(0)=x)$ devo moltiplicare il vettore colonna j-esima della matrice $P$ per il vettore della riga i-esima di $P^n$ ?

[DajeForte]

Prego.
No. devi prendere l'elemento che ti ho detto della matrice P^n.
Prova a vederlo tu direttamente per n=2.

[method_nfb]

"DajeForte":$P(S(k)=j|S(0)=x)$ lo leggi nella matrice $P^n$ nella riga corrispondente a x e nella colonna di j

Quindi.. se io dovessi calcolare $P(S(k)=j|S(0)=x)$ in 4 passi ad esempio dovrei calcolare $P^4$ e la $P(S(k)=j|S(0)=x)$ corrisponde alle elemento $P(x,j)$ ?

Domanda: al crescere del numero di passi $n>3$ come faccio a calcolare velocemente le potenze ennesime? c'e' un metodo che semplifica il calcolo??

[DajeForte]

Si. ti faccio notare il 4 passi lo ottieni ponendo $k=4$, $k$rappresenta il numero dei passi.