Catene di Markov e teorema estensione Kolmogorov
Oggi il prof ha spiegato le catene di Markov ed ha applicato il teorema di estensione di kolmogorov(quello che assicura l'esistenza di un processo , date le marginali), solo che ho un dubbio riguardante le condizioni di coerenza . Mi spiego
Dato un processo di Markov discreto definito su uno spazio degli stati finito $S={1,2,3,...,k}$ e supponendo che la relativa catena di markov sia omogenea, quindi la matrice di transizione dipenda solo dagli stati : $P(i,j)$ t.c. $i,j in S$. Definisco infine il vettore degli stati iniziali $ul(mu)$ t.c. $mu_i=P(x_0 =i)$. Dopo aver definito la generica catena di Markov il prof ha definito la generica marginale finita per gli istanti ${1,..,n}$ ed ha dimostrato usando il teorema delle probabilità totali che:
$P(x_0 =i_0 ,...,x_n =i_n )= mu(i_0 )P(i_0,i_1)*...*P(i_(n-1) , i_n )$ con $i_0 ,.. ,i_n$ gli stati ad un certo tempo. Quindi il processo è completamente definito da $mu$ e $P$.
Il problema nasce quando cerca di verificare la condizione di coerenza basata sull'invarianza rispetto alle permutazioni delle variabili.
Mi spiego meglio, se data una catena di markov definita sugli istanti $(1,2,3)$ e devo verificare che la funzione di probabilità non cambi per $(3,2,1)$ non riesco perchè per costruzione mi sono ricondotto a probabilità condizionate(usando il teorema delle probabilità totali) ma se permuto le variabili allora permuto per forza di cose le probabilità condizionate e ciò non mi garantisce quindi che la mia funzione di probabilità originale sia invariante per permutazione.
Quello che ha detto il prof è che comunque dal vettore degli istanti si possono "estrarre" gli istanti adatti a comporre il vettore nuovo permutato, solo che non ha detto come verificare nella pratica la condizione di coerenza.
Avete spunti o riferimenti?
Dato un processo di Markov discreto definito su uno spazio degli stati finito $S={1,2,3,...,k}$ e supponendo che la relativa catena di markov sia omogenea, quindi la matrice di transizione dipenda solo dagli stati : $P(i,j)$ t.c. $i,j in S$. Definisco infine il vettore degli stati iniziali $ul(mu)$ t.c. $mu_i=P(x_0 =i)$. Dopo aver definito la generica catena di Markov il prof ha definito la generica marginale finita per gli istanti ${1,..,n}$ ed ha dimostrato usando il teorema delle probabilità totali che:
$P(x_0 =i_0 ,...,x_n =i_n )= mu(i_0 )P(i_0,i_1)*...*P(i_(n-1) , i_n )$ con $i_0 ,.. ,i_n$ gli stati ad un certo tempo. Quindi il processo è completamente definito da $mu$ e $P$.
Il problema nasce quando cerca di verificare la condizione di coerenza basata sull'invarianza rispetto alle permutazioni delle variabili.
Mi spiego meglio, se data una catena di markov definita sugli istanti $(1,2,3)$ e devo verificare che la funzione di probabilità non cambi per $(3,2,1)$ non riesco perchè per costruzione mi sono ricondotto a probabilità condizionate(usando il teorema delle probabilità totali) ma se permuto le variabili allora permuto per forza di cose le probabilità condizionate e ciò non mi garantisce quindi che la mia funzione di probabilità originale sia invariante per permutazione.
Quello che ha detto il prof è che comunque dal vettore degli istanti si possono "estrarre" gli istanti adatti a comporre il vettore nuovo permutato, solo che non ha detto come verificare nella pratica la condizione di coerenza.
Avete spunti o riferimenti?
Risposte
ok credo che la risposta fosse effettivamente più facile della domanda
Ossia la formula moltiplicativa delle probabilità (non teorema delle probabilità totali, sbagliato nome) è ovviamente per costruzione invariante alla permutazione, basta fare dei conti per piccoli vettori.(Non ho provato a fare la dimostrazione per ogni permutazione che non mi interessa). In quanto partendo da $(1,2,3)->P(1,2,3)$ se ho una sua permutazione $(3,2,1)-> p(3)*P(2|3)*P(1|3,2)=P(1,2,3)$ indipendentemente dalla permutazione e ciò vale perchè ovviamente dati qualsiasi insieme $A_1 , ... , A_n $ allora la loro intersezione è invariante per riordinamento, ovviamente. Cioè $A_1 ^^ A_2 = A_2 ^^A_1$
Perciò non sussiste alcun problema.
Ossia la formula moltiplicativa delle probabilità (non teorema delle probabilità totali, sbagliato nome) è ovviamente per costruzione invariante alla permutazione, basta fare dei conti per piccoli vettori.(Non ho provato a fare la dimostrazione per ogni permutazione che non mi interessa). In quanto partendo da $(1,2,3)->P(1,2,3)$ se ho una sua permutazione $(3,2,1)-> p(3)*P(2|3)*P(1|3,2)=P(1,2,3)$ indipendentemente dalla permutazione e ciò vale perchè ovviamente dati qualsiasi insieme $A_1 , ... , A_n $ allora la loro intersezione è invariante per riordinamento, ovviamente. Cioè $A_1 ^^ A_2 = A_2 ^^A_1$
Perciò non sussiste alcun problema.
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