Catene di Markov dimostrazione

[monica_n]

Ciao a tutti!
Ho il seguente problema:
Sia $ (X_n)_(n>= 0) $ una successione di variabili aleatorie indipendenti a valori in N* con legge geometrica di parametro p. Stabilire se la successione $ (Z_n)_(n>= 1) $ di variabili aleatorie a valori in N* così definita
$ Z_0=1, Z_(n+1)=Z_nX_(n+1) $
è una catena di Markov e calcolare la matrice di transizione.

Devo quindi dimostrare se vale $ P(Z_(n+1)=j|Z_n=i_n,...,Z_1=i_1)=P(Z_(n+1)=j|Z_n=i) $
Ora l'idea è di passare alle variabili X che so essere indipendenti ma in pratica ho una moltiplicazione di variabili e questo mi blocca un po'. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie a tutti!

[ghira1]

Per calcolare $Z_{n+1}$ quanto devi sapere di $Z_i$ per $i

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[monica_n]

In che senso? Per calcolare $ Z_n $ non mi serve sempre il precedente per tutti gli n?

[ghira1]

Ma non ho chiesto quanto devi sapere di $Z_n$ per calcolare $Z_{n+1}$. Ho chiesto quanto devi sapere di $Z_0, \ldots, Z_{n-1}$.

[monica_n]

Sì sì ho capito quello che chiedevi, io intendevo dire che mi serve solo il precedente quindi degli $ Z_0,...,Z_(n-1)$ non mi importa granché, secondo me.

[ghira1]

Sarei d'accordo.

[monica_n]

Ma la mia domanda è, questo mi basta per concludere che è di Markov? Perché darmi tutte quelle informazioni sulle X? Penso che devo dimostrarglielo ed è lì che ho problemi

[ghira1]

Le $X$ sono indipendenti e identicamente distribuite, e questo è importante. Se variassero esplicitamente col tempo, o dipendessero dalle $Z$, non sarebbe bello per i nostri scopi.

[monica_n]

Sì sì, teoricamente mi torna tutto, ma in pratica non riesco a dimostrarlo. Comunque grazie per l’aiuto

[ghira1]

Potresti provare a "calcolare la matrice di transizione". Se questo non è possibile per qualche motivo, è un cattivo segno.