Catene di Markov a tempo continuo

[Silente]

Sto cercando di capire per la prima volta l'argomento in oggetto da questo documento.

Comincio a scrivere i punti principali che credo di aver capito.
La costruzione logica parte dalle ipotesi che il sistema in analisi possegga la "markov property" e che sia "time-homogeneous" (pag. 223-225). Da queste infatti si deduce naturalmente che le variabili aleatorie "tempo di permanenza nello stato i-esimo" ([tex]T_i[/tex]) sono esponenziali, ovvero:

$$ P(T_i>h)=P(X(t)=i, 0
dove [tex]X(t)[/tex] è lo stato al tempo t e [tex]\nu_i[/tex] è un parametro (interpretabile come una frequenza di uscita dallo stato $i$ verso altri stati).
Fin qui tutto liscio.
A un certo punto, mentre cerca di dimostrare un altro fatto, nel documento vengono implicitamente introdotte ed indicate (pag. 233) con la notazione [tex]p_{ij}[/tex] le seguenti probabilità:

[tex]P(\text{primo salto avverrà nello stato j}|X(0)=i)[/tex]

Prima domanda: chi è in realtà l'evento appena citato? Mi viene da pensare che sia scrivibile più o meno rigorosamente come \(\displaystyle \int_{h=0}^\infty P((X(t)=i, 0 Secondo dubbio: altrove nel testo viene più volte ribadito che si possono legare le [tex]p_{ij}[/tex] a delle altre quantità che lui chiama [tex]\nu_{ij}[/tex] (che stavolta vanno interpretate come una frequenza di uscita dallo stato $i$ verso lo stato $j$), nel modo seguente: $\nu_{ij}=p_{ij}\nu_{i}$. Come posso dimostrare una cosa del genere? Devo prima definire delle nuove variabili aleatorie $T_{ij}$ "tempo di permanenza nello stato i-esimo prima del salto nello stato j-esimo" (che non capisco nemmeno se sono ancora esponenziali)? Da lì come potrei arrivare ad affermare che $\nu_{ij}=p_{ij}\nu_{i}$?
Insomma, in questo punto ho le idee abbastanza confuse.
Ringrazio chiunque voglia schiarirmele.

[ghira1]

Se prendi dei valori $t_i$ indipendenti da distribuzioni esponenziali con parametri diversi, com'è distribuito il minimo di questi valori?

[Silente]

Ciao, grazie per interessarti al mio problema.
Non capisco dove vuoi farmi arrivare purtroppo. La risposta dovrebbe essere che è ancora esponenziale, ma chi sarebbe questa nuova variabile aleatoria? Il minimo tra le variabili aleatorie "tempo di permanenza nello stato i" mi fa pensare a quale stato 'salta per primo', però non vedo codificata l'informazione del 'in quale stato vado a finire'.

[ghira1]

Non va bene la spiegazione su pagina 220?

[Silente]

Non mi piaceva perché quella viene data lí come motivazione intuitiva, ma come dice lui stesso la catena di markov a tempo continuo la costruisce formalmente dopo. Basandomi solo sui principi che introduce dopo (che non contengono gli orologi esponenziali per ogni possibile salto) volevo arrivare a tale conclusione.

[ghira1]

Non so cosa dirti. Tutto quello che mi viene in mente è già nel documento che citi.

Che problema c'è con $p_{ij}$, per esempio?

Quasi sicuramente lasci lo stato $i$. In quel momento vai in un altro stato. Vai in stato $j$ con probabilità $p_{ij}$. Che problema c'è? Non vedo la difficoltà.