Catena di Markov (piccola ma strana)

[Giova411]

Sistema dato da $E={a,b,c,d}$ come spazio degli stati e P la matrice di transizione:

$P= ((0, p, 0, q), (p, 0, q, 0), (0, p, 0, q), (p, 0, q, 0))$

Sia $x(0)= (0,0,0,1)$ lo stato iniziale.


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Ho trovato che tutti gli stati comunicano quindi è irriducibile: ad es col percorso $a->b->c->d->a$. Ma per trovare la distribuzione invariante non riesco proprio. Il sistema che imposto è:

${(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1), (p*x_2+p*x_4= x_1),(p*x_1+p*x_3= x_2),(q*x_2+q*x_4=x_3), (q*x_1+q*x_3=x_4):}$

Forse non ricordo come bene come si fanno a risolvere sistemi come questi. Che metodo mi conviene usare?

Aiuto! Grazie!

[_luca.barletta]

La cosa migliore è sfruttare al massimo la relazione di congruenza: $x_1+x_2+x_3+x_4=1$, ad esempio scrivendo $x_2,x_3,x_4$ in funzione di $x_1$:
$x_2+x_4=x_1/p$ dalla 2a equazione
$x_3=x_1*q/p$ combinando la 2a e la 4a equazione
quindi
$x_1*(1+1/p+q/p)=1$
ora puoi risolvere le altre.

[Giova411]

Buongiorno Luca!
Grazie ma, sulle schede che ho, mi dà subito che il sistema ha questa soluzione: $(q/2, q/2, p/2, p/2)$.
Non riesco a capirlo. Ma sarà perché (forse) c'é una periodicità di periodo 2?

[_luca.barletta]

con $x_1=p/2$? Se sì allora è giusto, cosa non ti torna?

P.S. sto uscendo, magari non ti risponderò subito

[Giova411]

Ehm si, per ricordarlo a memoria, ho invertito p e q. La soluzione è questa:

$(p/2, p/2, q/2, q/2)$ Come viene fuori non lo so. Ho pure pensato che assegna a $p=q=1/2$ per la teoria della righe delle catene che devono avere somma pari a $1$

[_luca.barletta]

allora, la matrice deve essere stocastica, quindi p+q=1, ok?

[Giova411]

Non ti preoccupare, anzi, grazie 1000!!!!!

[Giova411]

"luca.barletta":allora, la matrice deve essere stocastica, quindi p+q=1, ok?

Ok!