Catena di Markov e calcolo probabilità stazionaria
Ciao a tutti.
Ho un esercizio sulle catene di markov e dovrei risolvere un punto in cui mi chiede di valutare se possibile le probabilità stazionarie, e nel caso trovarle.
Per quanto riguarda la matrice delle probabilità mi trovo
P [0,55 0,3 0,15 0; 0,2 0,3 0,4 0,1; 0,45 0,3 0,2 0,05; 0,05 0,2 0,75 0].
Per il punto due mi trovo rispettivamente
- 0,05
- 0,03
- 0,0357
Per quanto la definizione ci sono, ma non ho trovato nessun esempio di esercizio pertanto chiedo, qualcuno può illustrarmi il procedimento?
Grazie in anticipo.
Ho un esercizio sulle catene di markov e dovrei risolvere un punto in cui mi chiede di valutare se possibile le probabilità stazionarie, e nel caso trovarle.
Per quanto riguarda la matrice delle probabilità mi trovo
P [0,55 0,3 0,15 0; 0,2 0,3 0,4 0,1; 0,45 0,3 0,2 0,05; 0,05 0,2 0,75 0].
Per il punto due mi trovo rispettivamente
- 0,05
- 0,03
- 0,0357
Per quanto la definizione ci sono, ma non ho trovato nessun esempio di esercizio pertanto chiedo, qualcuno può illustrarmi il procedimento?
Grazie in anticipo.
Risposte
La stazionarietà richiede la verifica di certe condizioni (irriducibilità e ricorrenza positiva), ma il calcolo dello stato stazionario è abbastanza semplice. Deve risultare in stato stazionario
$ Pi^t P = Pi^t$ ovvero
$ Pi^t (I-P) = 0$
Se questo sistema fosse risolvibile come scritto l'unico stato stazionario sarebbe quello nullo. In realtà P ha uno degli autovalori pari a 1 e questo significa che la matrice dei coefficienti I-P ha determinante nullo. Pertanto nel migliore dei casi solo n-1 equazioni sono realmente indipendenti. Si deve quindi associare ancora l'equazione
$ pi_1+ pi_2 + ..... + pi_n=1$
per avere un sistema risolubile. Per dettagli puoi vedere
https://poisson.phc.dm.unipi.it/~gdelco ... es/m_1.pdf
Nel nostro caso avremo il sistema:
$(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)*((0.45,-0.3,-0.15,1),(-0.2,0.7,-0.4,1),(-0.45,-0.3,0.8,1),(-0.05,-0.2,-0.75,1))=(0,0,0,1)$
ovvero facendo la trasposta:
$((0.45, -0.2, -0.45, -0.05), (-0.3,0.7, -0.3, -0.2), (-0.15,-0.4,0.8,-0.75), (1,1,1,1))(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)^t=(0,0,0,1)^t$
Si tratta di un sistema lineare del tipo A X=B che risolto fornisce:
$(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)=(0.3989, 0.2957, 0.2627, 0.0427)$
Spero di non aver sbagliato qualche conto e che il risultato coincida con la soluzione.
$ Pi^t P = Pi^t$ ovvero
$ Pi^t (I-P) = 0$
Se questo sistema fosse risolvibile come scritto l'unico stato stazionario sarebbe quello nullo. In realtà P ha uno degli autovalori pari a 1 e questo significa che la matrice dei coefficienti I-P ha determinante nullo. Pertanto nel migliore dei casi solo n-1 equazioni sono realmente indipendenti. Si deve quindi associare ancora l'equazione
$ pi_1+ pi_2 + ..... + pi_n=1$
per avere un sistema risolubile. Per dettagli puoi vedere
https://poisson.phc.dm.unipi.it/~gdelco ... es/m_1.pdf
Nel nostro caso avremo il sistema:
$(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)*((0.45,-0.3,-0.15,1),(-0.2,0.7,-0.4,1),(-0.45,-0.3,0.8,1),(-0.05,-0.2,-0.75,1))=(0,0,0,1)$
ovvero facendo la trasposta:
$((0.45, -0.2, -0.45, -0.05), (-0.3,0.7, -0.3, -0.2), (-0.15,-0.4,0.8,-0.75), (1,1,1,1))(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)^t=(0,0,0,1)^t$
Si tratta di un sistema lineare del tipo A X=B che risolto fornisce:
$(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)=(0.3989, 0.2957, 0.2627, 0.0427)$
Spero di non aver sbagliato qualche conto e che il risultato coincida con la soluzione.
Ciao Ingres, ti ringrazio davvero per la pazienza. Purtroppo non ho il risultato, ma ora mi metto e vedo. La spiegazione è stata molto chiara, non ci sarei mai arrivato credo... ti ringrazio per gli appunti da cui approfondirò la teoria.
Grazie ancora.
Grazie ancora.
"ingres":
La stazionarietà richiede la verifica di certe condizioni (irriducibilità e ricorrenza positiva), ma il calcolo dello stato stazionario è abbastanza semplice. Deve risultare in stato stazionario
$ Pi^t P = Pi^t$ ovvero
$ Pi^t (I-P) = 0$
Se questo sistema fosse risolvibile come scritto l'unico stato stazionario sarebbe quello nullo. In realtà P ha uno degli autovalori pari a 1 e questo significa che la matrice dei coefficienti I-P ha determinante nullo. Pertanto nel migliore dei casi solo n-1 equazioni sono realmente indipendenti. Si deve quindi associare ancora l'equazione
$ pi_1+ pi_2 + ..... + pi_n=1$
per avere un sistema risolubile. Per dettagli puoi vedere
https://poisson.phc.dm.unipi.it/~gdelco ... es/m_1.pdf
Nel nostro caso avremo il sistema:
$(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)*((0.45,-0.3,-0.15,1),(-0.2,0.7,-0.4,1),(-0.45,-0.3,0.8,1),(-0.05,-0.2,-0.75,1))=(0,0,0,1)$
ovvero facendo la trasposta:
$((0.45, -0.2, -0.45, -0.05), (-0.3,0.7, -0.3, -0.2), (-0.15,-0.4,0.8,-0.75), (1,1,1,1))(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)^t=(0,0,0,1)^t$
Si tratta di un sistema lineare del tipo A X=B che risolto fornisce:
$(pi_1,pi_2,pi_3,pi_4)=(0.3989, 0.2957, 0.2627, 0.0427)$
Spero di non aver sbagliato qualche conto e che il risultato coincida con la soluzione.
Ingres, sulla mia teoria delle slide date, ci dice che la stazionarietà è verificata se la catena è irriducibile ed aperiodica. In questo caso dovrebbero essere verificate tali ipotesi giusto?
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