Catena di Markov a due stati

[Black27]

Mi sto cimentando nel seguente esercizio:

Consideriamo una Catena di Markov a due stati, E=(A,B) tale che
$P(X_(n+1)=A|X_n = B) = p = P(X_(n+1)=B|X_n = A)$
1) Qual'è la probabilità che il sistema parta da A e ritorni a A dopo due stati?
2) Determinare la matrice di transizione a due passi.

La C.d.M dovrebbe essere la seguente:
$ M = ( ( 1-p , p ),( p , 1-p ) ) $

2) Quindi facendo righe per colonne, ottengo
$ M^2 = ((1-2p+2p^2,2p-2p^2),(2p-2p^2,1-2p+2p^2))$
Che dovrebbe essere la matrice di transizione a due passi

1) La probabilità che torni a A dopo due stati è la somma della colonna corrispondente allo stato (giusto?) Quindi in questo caso dovrebbe essere 1...possibile?

Non so se i miei ragionamenti sono corretti...E visto che non ho le soluzioni, volevo essere sicuro (l'esame si avvicina )

Grazie

Edit: avevo fatto un errore di calcolo

[Black27]

...oppure la 1 è $1-2p+2p^2$?

[Andrea2976]

Per essere sicuri io di solito mi sviluppo il conto così (dove a parte le proprietà della probabilità condizionata si usa semplicemente la proprietà di markov sulle probabilità):


$P(X_2=A|X_0=A)=$
$=P(X_2=A|X_0=A,X_1=B)P(X_1=B|X_0=A)+P(X_2=A|X_0=A,X_1=A)P(X_1=A|X_0=A)=$
$=pP(X_1=B|X_0=A)+(1-p)P(X_1=A|X_0=A)=p^2+(1-p)^2=1-2p+2p^2$

[Black27]

"Andrea2976":Per essere sicuri io di solito mi sviluppo il conto così (dove a parte le proprietà della probabilità condizionata si usa semplicemente la proprietà di markov sulle probabilità):


$P(X_2=A|X_0=A)=$
$=P(X_2=A|X_0=A,X_1=B)P(X_1=B|X_0=A)+P(X_2=A|X_0=A,X_1=A)P(X_1=A|X_0=A)=$
$=pP(X_1=B|X_0=A)+(1-p)P(X_1=A|X_0=A)=p^2+(1-p)^2=1-2p+2p^2$

Ok, quindi il mio secondo post è corretto
Purtroppo non sono riuscito a capire il tipo di calcoli che hai effettuato... ma in generale è corretto dire che per trovare la probabilità di partire dallo stato m e arrivare allo stato n in k passi, basta trovare la probabilità p_mn(k), dove k è la matrice di transizione alla k-esima potenza? (in questo caso ho trovato la $p_(11)( M^2) $)

Inoltre volevo fare anche un'altra domanda che non c'entra con l'esercizio in questione: Quale proprietà deve avere una catena per essere omogenea? Ho trovato diverse dimostrazioni online ma ho avuto difficoltà nel "tradurle"...

[Andrea2976]

Ciao Black,

hai provato su google con una ricerca in italiano del tipo: "catena di markov omogenea"?(Domanda sarcastica)
I conti che ho fatto io penso li possa trovare un po' dappertutto sui libri standard, è solo un'analisi a "un passo".

Se consideri tre eventi generici $A$, $B$ e $C$ (non quelli della tua catena) allora
$P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}=\frac{P(A,B,C)}{P(B)}+\frac{P(A,B,\bar{C})}{P(B)}$
dove con $\bar{C}$ intendo il complementare.

Ora $\frac{P(A,B,C)}{P(B)}=\frac{P(A|B,C)P(B,C)}{P(B)}=\frac{P(A|B,C)P(C|B)P(B)}{P(B)}=P(A|B,C)P(C|B)$,
applica lo stesso procedimento per il secondo addendo.