Carte e Calcolo Combinatorio
Ciao a tutti, sono nuovo e spero di riuscire ad usare correttamente MathJax per le formule.
Sto frequentando un corso che ha alcuni prerequisiti di calcolo e nel test di autovalutazione presentano il seguente problema (è una traduzione dal testo originale in inglese, che comunque riporto sotto):
Il testo originale:
Il mio ragionamento è il seguente:
Devo calcolare quanti gruppi di carte si possono formare che contengano solo carte dispari oppure la carta 10, l'ordine conta.
Per calcolare quante mani possono contenere la carta 10 uso la formula delle combinazioni semplici, dove appunto due raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un elemento che non figura nell'altro, senza considerare l'ordine. Usando quindi la formula
$\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$ con n=10 e k=3 ottengo 120.
Per quanto riguarda invece il calcolo dei possibili gruppi di carte dispari ho pensato di usare le disposizioni con ripetizione, dove due raggruppamenti sono considerati distinti se uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell'altro oppure se gli oggetti sono ordinati diversamente. Usando quindi la formula
\(n^k \) con n=5 e k=3 ottengo 125.
In entrambi i casi ho scelto di assegnare 5 ad n perché pensavo che su 10 (il mio mazzo di carte) soltanto 5 sono dispari.
A questo punto per rispondere al primo quesito (quante carte vincenti...) dovrei sommare i risultati ottenuti dalle combinazioni e dalle disposizioni. Per rispondere al secondo quesito (probabilità di vincita) credo di dover fare un rapporto tra i due risultati, ma di questo non sono sicurissimo.
Credi ci sia qualche problema logico nel mio ragionamento perché i risultati non sono giusti. Sono diversi giorni ormai che provo ad applicare tutte le formule in tutte le combinazioni senza successo...
In realtà una delle cose che non mi è chiara è se considerare soltanto 5 elementi su 10, visto che tanti sono quelli dispari, sia un passo giusto...
Spero che qualcuno sappia illuminarmi o almeno darmi qualche indicazione a riguardo.
Grazie,
Tiziano
Sto frequentando un corso che ha alcuni prerequisiti di calcolo e nel test di autovalutazione presentano il seguente problema (è una traduzione dal testo originale in inglese, che comunque riporto sotto):
Stai giocando a un solitario, ti vengono date 3 carte senza rimpiazzo da un mazzo semplificato di 10 carte (numerate da 1 a 10). Vinci se una delle carte che hai è un 10 oppure se tutte le carte che hai sono dispari.
Quante mani vincenti sono possibili considerando come diverse le mani contenenti le stesse carte ma in ordine diverso?
Che possibilità hai di vincita?
Il testo originale:
You are playing a solitaire game in which you are dealt three cards without replacement from a simplified deck of 10 cards (marked 1 through 10). You win if one of your cards is a 10 or if all of your cards are odd.
How many winning hands are there if different orders are different hands?
What is your chance of winning?
Il mio ragionamento è il seguente:
Devo calcolare quanti gruppi di carte si possono formare che contengano solo carte dispari oppure la carta 10, l'ordine conta.
Per calcolare quante mani possono contenere la carta 10 uso la formula delle combinazioni semplici, dove appunto due raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un elemento che non figura nell'altro, senza considerare l'ordine. Usando quindi la formula
$\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$ con n=10 e k=3 ottengo 120.
Per quanto riguarda invece il calcolo dei possibili gruppi di carte dispari ho pensato di usare le disposizioni con ripetizione, dove due raggruppamenti sono considerati distinti se uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell'altro oppure se gli oggetti sono ordinati diversamente. Usando quindi la formula
\(n^k \) con n=5 e k=3 ottengo 125.
In entrambi i casi ho scelto di assegnare 5 ad n perché pensavo che su 10 (il mio mazzo di carte) soltanto 5 sono dispari.
A questo punto per rispondere al primo quesito (quante carte vincenti...) dovrei sommare i risultati ottenuti dalle combinazioni e dalle disposizioni. Per rispondere al secondo quesito (probabilità di vincita) credo di dover fare un rapporto tra i due risultati, ma di questo non sono sicurissimo.
Credi ci sia qualche problema logico nel mio ragionamento perché i risultati non sono giusti. Sono diversi giorni ormai che provo ad applicare tutte le formule in tutte le combinazioni senza successo...
In realtà una delle cose che non mi è chiara è se considerare soltanto 5 elementi su 10, visto che tanti sono quelli dispari, sia un passo giusto...
Spero che qualcuno sappia illuminarmi o almeno darmi qualche indicazione a riguardo.
Grazie,
Tiziano
Risposte
"tizianococcio":
Devo calcolare quanti gruppi di carte si possono formare che contengano solo carte dispari oppure la carta 10, l'ordine conta.
Per calcolare quante mani possono contenere la carta 10 uso la formula delle combinazioni semplici, dove appunto due raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un elemento che non figura nell'altro, senza considerare l'ordine.
Il grassetto l'ho messo io: non credi ci siano contraddizioni nel ragionamento? Se conta l'ordine, devi usare le disposizioni.
"tizianococcio":
Per quanto riguarda invece il calcolo dei possibili gruppi di carte dispari ho pensato di usare le disposizioni con ripetizione
Perché con ripetizione?
Rivedi il tuo ragionamento, non è poi così difficile.
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