Caratterizzazione statistica di un rettangolo
Salve, ho questo esercizio del quale mi è stata proposta una soluzione che vorrei verificare.
" Si consideri il segnale $X(t)=rect(\frac{t}{2A})$ , dove $A$ è una variabile aleatoria che può assumere ciascuno tra i valori $2,4,8$ con probabilità $\frac{1}{3}$ ed il rettangolo è definito come $$ rect(\frac{t}{2A})= \begin{cases}
1 , \text{se } |t| \leq A ;
\newline
0 , \text{altrimenti}
\end{cases} $$
Di $X(t)$ calcolare:
1) La pmf del primo ordine;
2) La densità spettrale di energia;
3) La funzione di autocorrelazione. "
Soluzione proposta
I dubbi li ho sul punto 1, che riporto qui di seguito.
1) Ci rendiamo conto che $X(t)$ può assumere solo i valori 0 e 1, quindi si tratta di una variabile aleatoria bernoulliana con parametro $p$ variabile a in base a $|t|$ . Infatti abbiamo che:
Se $|t| \leq 2 $ allora $X(t)$ è una v.a. bernoulliana con parametro $p=1$ (assume il valore 1 con probabilità 1);
Se $2 < |t| \leq 4$ allora $p=\frac{2}{3}$;
Se $4 < |t| \leq 8$ allora $p=\frac{1}{3}$;
Se $ |t| > 8$ allora $p=0$ . Possiamo quindi scegliere la pmf di una qualunque tra queste bernoulliane come risposta al punto 1.
È veramente così? Non devo caratterizzare statisticamente il segnale nell'insieme?
" Si consideri il segnale $X(t)=rect(\frac{t}{2A})$ , dove $A$ è una variabile aleatoria che può assumere ciascuno tra i valori $2,4,8$ con probabilità $\frac{1}{3}$ ed il rettangolo è definito come $$ rect(\frac{t}{2A})= \begin{cases}
1 , \text{se } |t| \leq A ;
\newline
0 , \text{altrimenti}
\end{cases} $$
Di $X(t)$ calcolare:
1) La pmf del primo ordine;
2) La densità spettrale di energia;
3) La funzione di autocorrelazione. "
Soluzione proposta
I dubbi li ho sul punto 1, che riporto qui di seguito.
1) Ci rendiamo conto che $X(t)$ può assumere solo i valori 0 e 1, quindi si tratta di una variabile aleatoria bernoulliana con parametro $p$ variabile a in base a $|t|$ . Infatti abbiamo che:
Se $|t| \leq 2 $ allora $X(t)$ è una v.a. bernoulliana con parametro $p=1$ (assume il valore 1 con probabilità 1);
Se $2 < |t| \leq 4$ allora $p=\frac{2}{3}$;
Se $4 < |t| \leq 8$ allora $p=\frac{1}{3}$;
Se $ |t| > 8$ allora $p=0$ . Possiamo quindi scegliere la pmf di una qualunque tra queste bernoulliane come risposta al punto 1.
È veramente così? Non devo caratterizzare statisticamente il segnale nell'insieme?
Risposte
"xh144fata":
1) Ci rendiamo conto che $X(t)$ può assumere solo i valori 0 e 1, quindi si tratta di una variabile aleatoria bernoulliana con parametro $p$ variabile a in base a $|t|$ .
Non è una distribuzione uniforme (continua)?
No, si tratta di una funzione rettangolare con parametro aleatorio $A$. Questa variabile aleatoria è discreta ed assume uno dei valori detti con probabilità $\frac{1}{3}$
"xh144fata":
No, si tratta di una funzione rettangolare con parametro aleatorio $A$. Questa variabile aleatoria è discreta ed assume uno dei valori detti con probabilità $\frac{1}{3}$
Ma $X(t)$ è continua. Come fa ad essere bernoulliana?
Per ogni $t$ reale, $X(t)$ è una variabile aleatoria discreta (bernoulliana), perciò ha un senso quello che mi è stato suggerito. Non sono sicuro del ragionamento però
"La pmf del primo ordine" cosa vuol dire? Pensavo "probability mass function" ma non può essere. E anche se fosse, "del primo ordine"?
La pmf è la Probability Mass Function; quella del primo ordine è definita come $p(x;t)= P(X(t)=x)$
$t$ è reale?
Sì, t è reale
Allora mi sa che non capisco dove sia la pmf.
Stiamo parlando di segnali aleatori, non di variabili aleatorie. Una variabile aleatoria è una funzione $X(\omega)$ a valori reali definita sullo spazio campione $\Omega$ ; un segnale aleatorio è invece una legge di corrispondenza che associa ad ciascun $\omega \in \Omega$ (risultato di un esperimento aleatorio) un segnale deterministico (a tempo continuo, $X(t, \omega)$ , o tempo discreto, $X(n, \omega)$). Per brevità, questi vengono scritti come $X(t)$ ed $X(n)$.
Un segnale tempo continuo ad ampiezza discreta, è uno che per un fissato t è una variabile aleatoria discreta; in questo caso è possibile calcolare la pmf.
Un segnale tempo continuo ad ampiezza discreta, è uno che per un fissato t è una variabile aleatoria discreta; in questo caso è possibile calcolare la pmf.
Temo di non poterti aiutare, allora.
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