Caratterizzazione di variabili aleatorie
Salve a tutti, è la prima volta che scrivo un post su questo sito e inizio col fare i complimenti perché è una risorsa molto importante per noi studenti.
Sono alle prese con un dubbio riguardante un esercizio sulle variabili aleatorie. Il quesito è il seguente:
Siano X, Y variabili aleatorie Gaussiane indipendenti tali che X - N(2,1) e Y - N(3,2). Sia inoltre Z una variabile aleatoria a valori {-1,1} con P(Z=1) = 0,4. Z è statisticamente indipendente da X e Y.
1) Caratterizzare la v.a. 3X + Y +3Z
2) Caratterizzare la v.a. 4X + 2ZY
Dato che la media e la varianza di X e Y sono assegnate, per il calcolo della media e della varianza della somma delle variabili aleatorie è necessario calcolare la media e la varianza di Z (ragionando come se fosse una v.a. Bernoulliana)? Io ho agito in questo modo per poi sommare i vari termini (possibile farlo perché le v.a. sono per hp indipendenti).
Vi ringrazio in anticipo per la risposta
Sono alle prese con un dubbio riguardante un esercizio sulle variabili aleatorie. Il quesito è il seguente:
Siano X, Y variabili aleatorie Gaussiane indipendenti tali che X - N(2,1) e Y - N(3,2). Sia inoltre Z una variabile aleatoria a valori {-1,1} con P(Z=1) = 0,4. Z è statisticamente indipendente da X e Y.
1) Caratterizzare la v.a. 3X + Y +3Z
2) Caratterizzare la v.a. 4X + 2ZY
Dato che la media e la varianza di X e Y sono assegnate, per il calcolo della media e della varianza della somma delle variabili aleatorie è necessario calcolare la media e la varianza di Z (ragionando come se fosse una v.a. Bernoulliana)? Io ho agito in questo modo per poi sommare i vari termini (possibile farlo perché le v.a. sono per hp indipendenti).
Vi ringrazio in anticipo per la risposta
Risposte
Intanto benvenuto nel forum. Potresti leggere come si scrivono le [formule][/formule] in questo link così siamo tutti più contenti. Puoi usare l'editor oppure LaTeX, come preferisci. Ti ricordo che in questo forum, dopo 30 messaggi, è obbigatorio l'uso delle formule ma è gradito fin da subito.
Obbligatorio significa che ti chiudo il messaggio, Gradito significa che non te lo chiudo ma stai sicuro che non ti rispondo.
1) caratterizzare la variabile significa calcolarne la distribuzione oppure la funzione caratteristica...diciamo che va bene dire come si distribuisce la nuova variabile dandone densità o funzione di ripartizione. Calcolarne alcuni indici sintetici (media, varianza, mediana, moda e chi più ne ha più ne metta) non è sufficiente e, nel caso in esame, nemmeno richiesto.
2) la somma di gaussiane è ancora gaussiana quindi, per l'indipendenza, $3X+Y~N(9;11)$
questo perché
$mathbb{E}[aX+Y]=a mathbb{E}[X]+mathbb{E}[Y]$ mentre, data l'indipendenza,
$mathbb{V}[aX+Y]=a^2 mathbb{V}[X]+mathbb{V}[Y]$
Ora devi capire come inserirci la variabile discreta....non è difficile...se ci pensi un attimo, a seconda che la tua variabile valga $+-1$ ti cambierà la media della normale.....quindi ne uscirà una distribuzione "mixture" di due gaussiane
Se non sei avvezzo alle variabili aleatore "mixture" puoi guardare l'esempio 9.6 a pagina 194
Ti ho dovuto correggere il post perché avevi scritto: a valori in $(-1;1)$. Questa notazione significa che l'insieme è continuo....se devi indicare un insieme discreto devi fare così. ${-1;1}$
Obbligatorio significa che ti chiudo il messaggio, Gradito significa che non te lo chiudo ma stai sicuro che non ti rispondo.
1) caratterizzare la variabile significa calcolarne la distribuzione oppure la funzione caratteristica...diciamo che va bene dire come si distribuisce la nuova variabile dandone densità o funzione di ripartizione. Calcolarne alcuni indici sintetici (media, varianza, mediana, moda e chi più ne ha più ne metta) non è sufficiente e, nel caso in esame, nemmeno richiesto.
2) la somma di gaussiane è ancora gaussiana quindi, per l'indipendenza, $3X+Y~N(9;11)$
questo perché
$mathbb{E}[aX+Y]=a mathbb{E}[X]+mathbb{E}[Y]$ mentre, data l'indipendenza,
$mathbb{V}[aX+Y]=a^2 mathbb{V}[X]+mathbb{V}[Y]$
Ora devi capire come inserirci la variabile discreta....non è difficile...se ci pensi un attimo, a seconda che la tua variabile valga $+-1$ ti cambierà la media della normale.....quindi ne uscirà una distribuzione "mixture" di due gaussiane
Se non sei avvezzo alle variabili aleatore "mixture" puoi guardare l'esempio 9.6 a pagina 194
Ti ho dovuto correggere il post perché avevi scritto: a valori in $(-1;1)$. Questa notazione significa che l'insieme è continuo....se devi indicare un insieme discreto devi fare così. ${-1;1}$
Ti ringrazio per il link e mi scuso per aver scritto le formule in quel modo, credo di aver rimediato 
Allora provo a ragionare in altro modo: so che la variabile Z = $\{(1, p=0.4),(-1, q=1-p=0.6):}$ e se sostituisco a Z i due valori, ottengo che alla media della normale sarà sommato 3 per $Z=1$ e sottratto 3 per $Z=-1$. Mentre la varianza rimane uguale a quella della normale. Infine per il calcolo della pdf: $p*f_(g|Z=1) (g|Z=1)+ q*f_(g|Z=-1) (g|Z=-1)$
Allora provo a ragionare in altro modo: so che la variabile Z = $\{(1, p=0.4),(-1, q=1-p=0.6):}$ e se sostituisco a Z i due valori, ottengo che alla media della normale sarà sommato 3 per $Z=1$ e sottratto 3 per $Z=-1$. Mentre la varianza rimane uguale a quella della normale. Infine per il calcolo della pdf: $p*f_(g|Z=1) (g|Z=1)+ q*f_(g|Z=-1) (g|Z=-1)$
"tommik":
Se non sei avvezzo alle variabili aleatore "mixture" puoi guardare l'esempio 9.6 a pagina 194
Ho guardato la prima parte del libro. Non sembra dire nulla a proposito delle distribuzioni singolari. Quindi le considera distribuzioni continue? (Chiaramente non c'entra niente con la domanda originale ma per hobby vedo cosa dicono i libri di testo di probabilità sulle distribuzioni singolari.) Questo libro sembra (da quello che ho visto finora) appartenere al livello più grave ma meno divertente della cospirazione contro le distribuzioni singolari: il silenzio totale. Controllo meglio.
in questo caso la distribuzione singolare cambia solo la media della gaussiana.
Quando la $Z=-1$, quindi con probabilità $0.6$ la variabile $3X+Y+3Z$ diventa una gaussiana $N(6;11)$
Quando invece la $Z=1$, quindi con probabilità $0.4$ la variabile $3X+Y+3Z$ diventa una gaussiana $N(12;11)$
Sono queste le due distribuzioni continue da "mediare"
L'OP ha fatto correttamente e la densità finale viene
$f(w)=0.6phi_((6;11))(w)+0.4phi_((12;11))(w)$
Quindi la densità è una mixture (una media pesata) delle due variabili. Pensa se $mathbb{P}[Z=1]=0.999999$
avresti con probabilità (quasi) 1 di avere la tua gaussiana iniziale soltanto con la media modificata da 9 a 12
La varianza della distribuzione mixture conviene (ma non è richiesto) calcolarla con la relazione iniziale
$mathbb{V}[3X+Y+3Z]=9xx1+2+9xx[0.6+0.4-(0.4-0.6)^2]=19.64$
Oppure facendo i conti con la definizione
@ghira: ti ho linkato solo metà del libro...questo è intero. L'ho usato molto in passato ma onestamente non ricordo tutto il contenuto
Quando la $Z=-1$, quindi con probabilità $0.6$ la variabile $3X+Y+3Z$ diventa una gaussiana $N(6;11)$
Quando invece la $Z=1$, quindi con probabilità $0.4$ la variabile $3X+Y+3Z$ diventa una gaussiana $N(12;11)$
Sono queste le due distribuzioni continue da "mediare"
L'OP ha fatto correttamente e la densità finale viene
$f(w)=0.6phi_((6;11))(w)+0.4phi_((12;11))(w)$
Quindi la densità è una mixture (una media pesata) delle due variabili. Pensa se $mathbb{P}[Z=1]=0.999999$
avresti con probabilità (quasi) 1 di avere la tua gaussiana iniziale soltanto con la media modificata da 9 a 12
La varianza della distribuzione mixture conviene (ma non è richiesto) calcolarla con la relazione iniziale
$mathbb{V}[3X+Y+3Z]=9xx1+2+9xx[0.6+0.4-(0.4-0.6)^2]=19.64$
Oppure facendo i conti con la definizione
@ghira: ti ho linkato solo metà del libro...questo è intero. L'ho usato molto in passato ma onestamente non ricordo tutto il contenuto
"tommik":
@ghira: ti ho linkato solo metà del libro...c'è anche l'altra metà
Lo so. Dico "prima parte" perché sto guardando l'altra metà che si chiama "parte1".
Per chi non lo sa: l'esempio canonico di una distribuzione singolare è la distribuzione di Cantor. Ce ne sono altre, ma se un libro ti presenta un esempio sarà quasi sicuramente questo. https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Cantor
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