Cammino aleatorio

[5mrkv]

Ho un omino che si muove lungo la retta reale di un passo di lunghezza \(\xi\) ad ogni intervallo di tempo \(\tau\). La probabilità che si trovi fra \(x\) e \(x+\epsilon\) \(\forall \epsilon >0\) al tempo \(\overline{t}\) fissato è data da

\[
P(x,x+\epsilon, \overline{t})=\int_{x}^{x+\epsilon}p(x,t)dx
\]
L'omino si muove con uguale probabilità a destra o a sinistra quindi la probabilità che al tempo \(\overline{t}-\tau\) stesse fra \(x+\xi,x+\epsilon+\xi\) o fra \(x-\xi,x+\epsilon-\xi\) è la stessa, \(P(x+\xi,x+\epsilon+\xi,\overline{t}-\tau)=P(x-\xi,x+\epsilon-\xi,\overline{t}-\tau) \). Per quale motivo
\[
P(x,x+\epsilon, \overline{t})=\frac{P(x+\xi,x+\epsilon+\xi,\overline{t}-\tau)+P(x-\xi,x+\epsilon-\xi,\overline{t}-\tau)}{2} \mbox{?}
\]

E' un modo per dire , con notazione abbreviata, \(p_{1}=p_{2}=p_{3} \Rightarrow p_{2}=(p_{1}+p_{3})/2\)? Ma ancora non ho capito perché \(p_{1}=p_{2}=p_{3}\).

[Principe2]

Ci sono due maniere "disgiunte" per trovarsi al tempo $\overline t$ fra $x$ e $x+\epsilon$. Una che al tempo precedente $\overline t-\tau$ ci si trovava fra $x+\xi$ e $x+\epsilon+\xi$ e la seconda e' che ci si trovava fra $x-\xi$ e $x+\epsilon-\xi$. Ognuna di queste due parti contribuisce per un fattore $\frac{1}{2}$, perche' hai due direzioni possibili di movimento e solo una va bene.

P.s. non capisco cosa intendi per $p_1,p_2,\ldots$.